8.7. Метод Рунге-Кутта-Фельберга
Метод Рунге-Кутта-Фельберга позволяет оценивать погрешность решения без применения двойного пересчета. Формулы метода дают одновременно решения четвертого и пятого порядков точности. Разность этих решений служит оценкой погрешности более точного решения решения пятого порядка. Найденная оценка может использоваться для корректировки величины шага приращения аргумента.
Для
нахождения нового значения неизвестной
функции
последовательно вычисляются величины:
(8.29)
Значение
пятого порядка точности вычисляется
как взвешенная комбинация величин
:
(8.30)
Значения
всех коэффициентов даны в таблице. Если
в формуле (8.29) коэффициенты
заменить на коэффициенты
,
то получим решение четвертого порядка.
Фактически на практике вычисляют решение
пятого порядка и оценку погрешности:
(8.31)
Таблица значений коэффициентов в формулах (8.29) – (8.30)
i |
i |
i,j |
|
|
||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
-8 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
Упражнения
Найти значение
,
решив задачу Коши:
Методом Эйлера, с применением правила Рунге для уточнения решения.
Первым модифицированным методом Эйлера.
Вторым модифицированным методом Эйлера.
Точные решения, полученные в системе «Математика»:
Найти значение , решив задачу Коши:
Методом Эйлера, с применением правила Рунге для уточнения решения.
Первым модифицированным методом Эйлера.
Вторым модифицированным методом Эйлера.
Точные решения, полученные в системе «Математика»:
Вопросы для повторения