8.2. Неявный метод Эйлера

Как и прежде рассматриваем задачу Коши:

.

Неявный метод Эйлера описывается формулой:

, (8.11)

где . Как видим, в отличие от обычного, явного метода Эйлера искомая величина входит также и в правую часть уравнения (8.11). Поэтому на каждом шаге приращения аргумента необходимо решать уравнение относительно . Достоинством неявного метода Эйлера является то, что он устойчив при любом выборе шага приращения аргумента.

Неявный метод Эйлера может быть получен из интегрального уравнения (8.5):

, –

если подынтегральную функцию заменить константой .

Пример 8.10. Найдем решение начальной задачи:

, –

неявным методом Эйлера.

Неявный метод для данного уравнения описывается формулой:

.

Отсюда

и .

Пример 8.11. Найдем неявным методом Эйлера решение начальной задачи:

.

В примере 8.2 эта задача была решена явным методом Эйлера. Неявный метод описывается формулами:

или

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим:

(8.12)

Р ешение в среде Mathcad на отрезке показано на рис. 8.6. Итерационный процесс в соответствии с формулами (8.12) записан в векторной форме. Шаг приращения аргумента полагается равным , где – число точек на отрезке интегрирования. Окончательная матрица содержит в первой строке значения , во второй и третьей строках – приближенные значения и , в четвертой и пятой строках – точные решения .

Из сравнения с рис.8.2 видим, что неявный метод для данной задачи оказывается более точным.

8.3. Погрешности метода решения

Рассмотрим более подробно погрешности, возникающие при решении задачи Коши приближенными методами. Эти погрешности называют ошибками метода решения или ошибками дискретизации.

Локальная ошибка – ошибка, сделанная на одном шаге приращения аргумента, при условии, что предыдущие значения точны.

Обозначим: u_n(t) – точное решение уравнения при условии . Как и прежде y_n обозначает приближенное решение уравнения в точке t_n. Локальная ошибка, сделанная на n-ом шаге, равна

. (8.13)

Глобальная ошибка дискретизации равна

. (8.14)

Глобальная ошибка – это ошибка, накопленная за n шагов. В общем случае глобальная ошибка может быть как больше, так и меньше суммы локальных.

На рис. 8.4 показаны глобальные и локальные ошибки в случае решения методом Эйлера начальной задачи:

.

Точное решение этой задачи представляет собой экспоненциальную функцию: . Это точное решение показано на рисунке верхней линией. Нижняя ломаная линия представляет собой ломаную Эйлера. Видно, что в данном случае глобальная погрешность больше суммы локальных: .

Если изменить знак коэффициента , получим затухающее решение. В этом случае будет справедливо обратное соотношение: .

В частном случае вырожденного дифференциального уравнения , у которого правая часть уравнения не зависит от y, глобальная ошибка равна сумме локальных:

.

Определение. Метод имеет порядок p, если существует положительное число такое, что

. (8.15)

Число C зависит от производных функции , определяющей правую часть дифференциального уравнения, и может зависеть также от длины интервала, на котором ищется решение. Но это число не должно зависеть от номера шага n и величины шага h_n.

Неравенство может быть записано более компактно:

. (8.16)

Порядок метода Эйлера равен p=1, так что уменьшение средней длины шага в 2 раза уменьшит среднюю локальную ошибку в 4 раза. Но на том же отрезке интегрирования уравнения потребуется приблизительно вдвое больше шагов. Поэтому глобальная ошибка уменьшится лишь примерно в два раза.