- 13 -

Калинин Б.Н.

Глава 8 Одношаговые методы решения задачи Коши

Содержание

8.1. Задача Коши. Метод Эйлера 2

8.2. Неявный метод Эйлера 5

8.3. Погрешности метода решения 6

8.4. Модифицированные методы Эйлера 7

8.5. Правило Рунге 9

8.6. Методы Рунге-Кутта 9

8.7. Метод Рунге-Кутта-Фельберга 12

Упражнения 12

Вопросы для повторения 13

8.1. Задача Коши. Метод Эйлера

Задача Коши или начальная задача состоит в нахождении решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии:

(8.1)

Пусть – некоторый прямоугольник в плоскости с центром в точке .

Определение. Функция удовлетворяет в прямоугольнике условию Липшица по переменной , если в этом прямоугольнике

, (8.2)

где L – постоянная, не зависящая ни от , ни от .

Теорема Коши. Пусть в уравнении функция в прямоугольнике непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной у. Тогда на отрезке , существует единственное решение начальной задачи . При этом предполагается, что на отрезке кривая не выходит за пределы прямоугольника .

Метод Эйлера состоит в том, что интегральная кривая, являющаяся решением задачи, приближенно заменяется некоторой лома­ной линией – ломаной Эйлера. Пусть требуется найти решение задачи Коши на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками ; иными словами введем на отрезке сетку точек: . Будем искать приближенное решение задачи в узлах сетки. Введем обозначения:

– приближенные значения решения в узлах сетки;

;

– шаг приращения аргумента – шаг сетки;

– максимальное значение шага (в частном случае сетка может быть равномерной ).

Метод Эйлера описывается формулой

(8.3)

На каждом шаге истинная интегральная кривая заменяется отрезком касательной. Получаем в итоге линию, называемую ломаной Эйлера.

Из теории дифференциальных уравнений известно утверждение:

начальная задача (8.1) эквивалентна интегральному уравнению

(8.4)

При решении начальной задачи на отрезке от до интегральное равнение (8.4) принимает вид:

, – (8.5)

и требуется приближенно описать интеграл на отрезке .

Иначе метод Эйлера можно получить, разложив решение в ряд Тейлора и ограничившись только линейными слагаемыми ряда:

(8.6)

Пример 8.1. Ломаная Эйлера для решения задачи Коши: – показана на рис.8.2.

Сформулируем задачу Коши для системы уравнений.

Система урав­нений первого порядка, разрешенных относительно производных

(8.7)

называется нормальной системой. Введя векторные функции , , можно записать систему (8.7) в векторной форме

. (8.8)

Задача Коши состоит в решении системы дифференциальных уравнений (8.8) при заданном начальном условии .

Пример 8.2. Найдем решение задачи Коши:

Эта задача легко решается аналитически. Можно также найти решение в среде Matematica, выполнив команду:

In[]:=DSolve[{y'[x]==-3 y[x]+z[x], z'[x]==y[x]-3 z[x], y[0]==1, z[0]==3}, {y[x], z[x]}, x]//Expand

Получаемый ответ:

Out[]= .

Решение методом Эйлера в среде Mathcad дано на рис. 8.3. Уравнения интегрируются на отрезке . Шаг приращения аргумента выбирается равным , где – число точек на отрезке. Так же, как и в примере 8.1 метод Эйлера записывается в векторной форме. В результате расчетов получаем матрицу, первая строка которой дает приращение , вторая дает значения и третья – значения . На графиках показаны ломаные Эйлера и истинные интегральные кривые. Если уменьшить шаг приращения аргумента, например, положить , то погрешность решения уменьшается. И наоборот, если положить ( ), то погрешность значительно увеличивается: процесс, описываемый приближенным решением, становится, вообще, немонотонным.

У равнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

(8.9)

Такое уравнение легко свести к нормальной системе. Для этого введем обозначения:

. (8.10)

Получим в результате систему уравнений первого порядка для неизвестных .

Пример 8.3 Частный случай уравнения колебаний имеет вид: , где – коэффициент затухания. Зададим начальные условия: . Решение данной задачи Коши представляет собой затухающую косинусоиду.

Преобразуем уравнение к нормальной системе уравнений:

.

На рис. 8.4 показано решение методом Эйлера в системе Mathcad. В матрице Y строка Y₀ включает значения независимой переменной, строка Y₁ содержит значения V, строка Y₂ включает значения Z.