14) Олду и нлду второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
.
(1)
Соответствующее ему ОЛДУ есть
.
(2)
Характеристическое уравнение ОЛДУ (2) есть квадратное уравнение
.
(3)
Возможны три случая.
Случай
1:
Тогда уравнение (3) имеет два различных
действительных корня
и
Поэтому общее решение ОЛДУ (2) имеет
вид
Случай
2:
Тогда уравнение (3) имеет один действительный
корень
кратности 2. В этом случае общее решение
ОЛДУ (2) имеет вид
Случай
3:
Тогда корнями уравнения (3) будут
и
т.е.
Следовательно, общее решение ОЛДУ (2)
имеет вид
Согласно сводной таблице:
I.
Если правая часть
уравнения
(1) есть
то:
a)
при
частное решение надо искать в виде
b)
при
частное решение надо искать в виде
c)
при
частное решение надо искать в виде
II.
Пусть правая часть
уравнения
(1) есть
Тогда:
a)
если
не является корнем характеристического
уравнения (3), то частное решение надо
искать в виде
b)
если
является корнем характеристического
уравнения (3) кратности
,
то частное решение надо искать в виде
III.
Пусть правая часть
уравнения
(1) есть
Тогда:
a)
если
(корни характеристического уравнения
(3) действительны), частное решение надо
искать в виде
,
где
b)
если
( уравнение (3) не имеет действительных
корней), то для
или
,
но
частное
решение надо искать в виде
,
где
c) если
( уравнение (3) не имеет действительных
корней), то для
и
частное решение надо искать в виде
,
где
IV.
Пусть правая часть
уравнения
(1) есть
Тогда:
a)
если
(корни характеристического уравнения
(3) действительны), частное решение надо
искать в виде
,
где
b) если ( характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней), то для
частное
решение надо искать в виде
,
где
c) если ( характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней), то для
или
частное решение надо искать в виде , где
Пример
1. Решить уравнение y''
– 2y' + y =
.
Решение.
Характеристическое уравнение данного
уравнения есть
Число
1 есть корень кратности 2. Других корней
нет. Фундаментальная система
соответствующего однородного уравнения
есть
.
Для нахождения частного решения
воспользуемся таблицей (пункт II
b)). Частное решение ищем
в виде
.
Имеем
Подставляя
в уравнение, получим 2A
=
,
откуда A=
.
Общее решение уравнения есть y
=
+