7) Уравнения в полных дифференциалах.

Допустим, что левая часть дифференциального уравнения

(1)

является полным дифференциалом некоторой функции :

.

Тогда если есть решение дифференциального уравнения (1), то , откуда следует, что . Обратно, если дифференцируемая функция такова, что при некотором , то есть решение дифференциального уравнения (1). Следовательно,

есть общий интеграл дифференциального уравнения (1). Если даны начальные условия , то определяется равенством , и является искомым частным интегралом.

Для того чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно (для ), чтобы . Поэтому уравнение с разделенными переменными есть уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах легко интегрируется. Действительно, если

, то .

Пусть . Тогда . Для определения функции дифференцируем это равенство по и получаем

Из полученного уравнения определяем и, интегрируя, находим .

Пример1. Найти общий интеграл уравнения

. (2)

Решение. Так как , это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем , откуда . Тогда . Следовательно, , и, тем самым, . Значит

. Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения (2) есть .

8) Дифференциальные уравнения порядка выше первого.

Пусть n > 1. Как мы знаем, дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

(1)

Если уравнение (1) имеет вид

(1'),

то уравнение - го порядка (1') называется разрешенным относительно -ой производной. Функция в правой части уравнения (1') есть функция переменного. Общее решение уравнения (1') имеет вид

,

где – постоянные.

Общим интегралом уравнения (1) или (1') называется соотношение , задающее неявно решение уравнений (1) или (1'), соответственно.

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (1'), рассматриваемая как функция переменного , непрерывна, и имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные . Тогда на некотором интервале , содержащем точку , найдется раз непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1'), удовлетворяющее условиям

. (2)

При этом решение дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющее условиям (2), единственно.

Условия (2) называются начальными. Задача отыскания решения дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Кoши.

9) Понижение порядка уравнения.

В процессе интегрирования уравнения - го порядка иногда удается получить уравнение более низкого порядка, эквивалентное исходному уравнению -го порядка в том смысле, что оба уравнения имеют одни и те же решения. Такие уравнения более низкого порядка называются промежуточными интегралами. Промежуточный интеграл порядка так же называют первым интегралом.

Пример 1. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано как . Поэтому оно имеет первый интеграл .

Рассмотрим простейшие случаи, когда возможно понижение порядка дифференциального уравнения и, тем самым, сведение более сложной задачи к более простой.

I. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно, т.е. имеет вид следующий вид:

.

В этом случае порядок уравнения может быть понижен до подстановкой , так как в результате такой подстановки уравнение приобретает вид . В частности, если уравнение второго порядка не содержит , т.е. имеет вид , то подстановка приводит к уравнению первого порядка .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Полагая , получаем , или , откуда p=C₁x, т.е. . Интегрируя последовательно три раза, получаем:

, , .

Ответ:

II. Уравнение не содержит независимого переменного , т.е. имеет вид

. (1)

В этом случае порядок дифференциального уравнения можно понизить на 1, рассматривая как независимое переменное, как неизвестную функцию переменного и составляя дифференциальное уравнение для . Например, пусть нам дано дифференциальное уравнение

(2)

Имеем , , откуда из (2) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного :

Если (1) есть уравнение третьего порядка

(3)

то, поскольку

из (3) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Непосредственно убеждаемся, что y=C есть решение. Далее считаем, что y не есть постоянная функция, и тем самым . Имеем или . Так как , то , или . Отсюда или . Разделяя переменные, получаем . Следовательно, , или , . Так как есть решение исходного уравнения, и y=C можно получить как , то общее решение дифференциального уравнения (4) есть

III. Левая часть уравнения является производной некоторой функции .

В этом случае порядок уравнения снижается на единицу, т.к. уравнение можно переписать в виде

, откуда .

Пример3. Решить уравнение

Решение. , поэтому . Это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Находим его решение по методу Бернулли: , , . Интеграл от функции не выражается в элементарных функциях, поэтому пишем

, .