3.2. Исчисление предикатов.

Предикат — это функциональное высказывание, а высказывание — предикат­ная константа.

Логика предикатов — это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций. Эти функции неско­лько отличаются от функций, которые мы использовали в логике Буля. Булева функция однородна, т.е. для нее область значений функции и область изменений аргументов по типу одна и та же — логическая (либо истина, либо ложь). Для пре­дикатов же область значений функции — логическая, а область изменений аргу­ментов — предметная Таким образом, эта функция — неоднородна Приведем примеры предикатных функций. Пусть имеется ряд простых высказываний.

Р₁= “Иван читает Достоевского”,

Р₂ == “Петр читает Достоевского”,

...........................

Р_n = “Степан читает Достоевского”.

Вместо высказываний Р₁, Р₂,... , Р_n можно ввести одноместный предикат Р(х), для которого переменная х принимала бы значения из предметной облас­ти — х = {Иван, Петр, ... , Степан}, а сама предикатная функция передавалась бы словами.

Р(х) = “х читает Достоевского”.

Теперь изменим исходный ряд высказываний на другой:

Р₁= “Иван читает Достоевского”,

Р₂ == “Петр читает Толстого”,

...........................

Р_n = “Степан читаетЧехова”.

Здесь можно было бы ввести уже двухместный предикат —

Р(х, у) = “ х читает у ”

с дополнительной предметной областью —

у = {Достоевский, Толстой, ... , Чехов}.

Введем трехместный предикат Р(х, у, z), который означает, что “ х есть сумма у и z”. Допустим, в процессе вычислений переменная х приняла конкретное значение, равное 5. Тогда трехместный предикат превратится в двухместный:

Р(5, у, z) = Р'(у, z) = “ 5 есть сумма у и z ”.

При х=5 у=3 получим одноместный предикат:

Р(5, 3, z) = Р(3, z) = P"(z) = “ 5 есть сумма 3 и z ”.

Наконец, если добавить условие z= 2 , то исходный предикат становится нульместным предикатом (константой или высказыванием), который в данном случае принимает истинное значение:

Р₁ = Р(5, 3, 2) = “ 5 есть сумма 3 и 2 ” = 1.

Но могло случиться, что z = 1 тогда имели бы ложное высказывание:

P₀ = Р(5, 3, 1) = “ 5 есть сумма 3 и 1 ” = 0.

Таким образом, при замещении переменной х_i предметной постоянной происходит превращение n-местного предиката (п — 1)-местный. Приписав конкретные значения всем аргументам предикатной функции — P(a₁,..., а_i,...,a_n), мы тем самым получаем предикатную константу, к которой применимы все законы логики высказываний.

Функциональная природа предиката влечет за собой введение еще одного понятия — квантора. Роль его выясним на следующих двух примерах:

1) “Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен.”

2) “Некоторые люди гениальны. Сократ человек. Следовательно, Сократ гениален.”

Во втором примере хорошо чувствуется ложность заключения, поскольку интуитивно мы понимаем, что Сократ мог и не попасть в число гениальных людей.

Итак, ключевыми словами в наших примерах являются “все” и “некоторые”. Когда какое-нибудь правило распространяется на всех индивидуумов, оно, естественно, распространяется и на Сократа. Когда же правило касается только некоторых, оно может оказаться в отношении Сократа как раз и неверным.

Термин “все х” обозначается в логике предикатов и называется квантором общности (символ есть перевернутая буква А, которая является начальной буквой английского слова All — “все”). Термин “некоторые х” или “существует хотя одно значение х” обозначается через х и называется квантором существования (символ есть перевернутая буква Е, являющаяся первой буквой английского слова Exist — “существовать”).

Выставляя кванторы перед предикатами, мы как бы усиливаем или ослабляем из действие. Так, выражение

означает “для всех без исключения х свойство Р истинно”, а выражение

означает “существует по крайней мере одно значение х, для которого свойство Р истинно”. Мы не будем использовать так называемые свободные переменные, т.е. не будем рассматривать предикатные функции, аргументы которых не связаны ни квантором общности, ни квантором существования. Сказать “для всех л свой­ство Р истинно” — это все равно, что сказать “конъюнкция всех значений преди­катной функции равна единице”:

Квантор существования означает дизъюнкцию всех значений предикатной функции:

Оба квантора можно отрицать и выражать один через другой на основе за­кона де Моргана:

Пусть предметная область предиката состоит всего из двух конкретных значений а и b . Учитывая, что

,

составим табл. 3, из которой непосредственно вытекают три элементарных клаузы:

.

Таблица 3

0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	1

Вместо Р(а) в последних выражениях можно было бы взять P(b) — семантика клауз от этого не изменится, а она такова: если выражение “для всех х свойство Р выполняется” является истинным, то для конкретного значения х, равного а, это свойство тоже будет выполняться. Первая клауза является предикатной формой выражения аксиомы порядка:

Действие ее продемонстрируем на уже знакомом нам примере, который сей­час сформулируем более отчетливо:

Для всех х справедливо правило: если х — человек, то х смертен. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен.

Введем два предиката:

А(х) = “х — человек” и В (х) = “х - смертен”.

Примем также, что а = “Сократ”. Составим клаузу, соответствующую нашей ле­генде:

.

Для ее доказательства достаточно перенести вторую посылку вправо за знак метаимпликации, чтобы клауза сразу же удовлетворяла аксиоме порядка в пре­дикатной форме:

.

Ясно, что второй пример с заключением о гениальности Сократа является южным выводом, поскольку приводит к клаузе, противоречащей аксиоме порядка:

Конъюнктивная природа квантора общности и дизъюнктивная квантора существования с точки зрения отношения эквивалентности накладывают определенные ограничения при использовании их совместно с дизъюнкцией и конъюнкцией как логическими операциями.

Пусть для определенности предметная область состоит из двух элементов а и b в общем случае для областей, состоящих из п элементов, все представленные здесь доказательства останутся теми же, только окажутся более громоздкими). Убедимся, что следующие два тождества выполняются:

,

.

Действительно,