Глава 3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов.

3.1. Исчисление высказываний.

Под высказыванием будем понимать грамматически правильное повество­вательное предложение, про которое можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно, например:

“Киев — столица Украины”, “Париж — столица России”.

Первое высказывание является истинным, второе — ложным. Возьмем два простых высказывания:

А = “На улице идет дождь”, В = “Над моей головой раскрыт зонтик”.

С помощью пяти логических связок можно образовать следующие сложные высказывания:

1) отрицание: = “На улице не идет дождь”;

2) дизъюнкция:

= “На улице не идет дождь или над моей головой раскрыт зонтик”;

3) конъюнкция:

= “На улице идет дождь и над моей головой не раскрыт зонтик”;

4) импликация:

= “Если на улице идет дождь, то над моей головой раскрыт зонтик”;

5) эквивалентность:

= “Над моей головой раскрыт зонтик тогда и только тогда, когда на улице идет дождь”.

Другие логические связки, известные по логике Буля, в логике выска­зывания не используются.

Рассмотрим каждую из этих связок.

Отрицание. Высказывание А по-другому можно прочитать так:

“Истинно то, что на улице идет дождь”.

Поэтому, если А = 0 , то это означает, что на улице не идет дождь. Дополняющее высказывание А также ориентируется на истинное высказывание, т.е. его следует понимать как

“Истинно то, что на улице не идет дождь”.

Тогда = 1 будет обозначать ту же самую ситуацию, что и в предыдущем случае, т.е. отсутствие дождя.

Дизъюнкция. В нашем конкретном примере дизъюнкция двух высказываний А и В, в принципе, может подразумевать и конъюнкцию этих же высказываний. Однако часто грамматический союз или не включает в себя союз и. Например, пусть будут даны два других высказывания:

Р = “Петр находится в кинотеатре” , Q = “Петр находится в бассейне” .

Если для нас не столь важно, где находится Петр, то мы, конечно, можем исполь­зовать союз или с включенным в него союзом и, формально записав:

= “Петр находится в кинотеатре или/и в бассейне”.

Но если нам нужно точно установить, где находится Петр, то мы обязаны исклю­чить случай одновременного присутствия Петра в кинотеатре и бассейне, т.е. формально записать:

.

Подобные высказывания называются строгой дизъюнкцией, которая означает “либо Р, либо Q, но не Р и Q одновременно”. И хотя, с точки зрения логики Буля, эта логическая операция равносильна операции симметрической разности:

исторически сложилось так, что символ “+” в логике высказываний не использу­ется.

Конъюнкция. Логический союз и необязательно должен представляться через грамматический союз и. В частности, выше приведенное выражение можно про­читать несколько иначе:

= “На улице идет дождь, а над моей головой не раскрыт зонтик”.

Союзы а и но по смыслу часто совпадают с союзом и, поэтому они используются в сложных конъюнктивных предложениях.

Однако языковая ситуация может стать такой, что союз и перестает играть роль конъюнкции; приведем два сложных предложения:

“Ему стало страшно ц он убил человека”, “Он убил человека и ему стало страшно”

Здесь некоммутативность двух простых предложений очевидна, поскольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно простое предложение обуслов­ливает другое.

Импликация. Высказывание типа “если А, то В ” носит объясняющий характер. Оно как бы разъясняет нам, почему имеет место событие В — потому что имело место событие А. Это свойство импликации особенно ценно для логики выска­зываний, о чем мы подробно остановимся в следующем подразделе.

Объясняющий характер импликации тесно связан с причинно-следствен­ным отношением, при котором А выступает в роли причины, а В — следствия. Причинно-следственная связь между А и В грамматически может быть офор­млена предложениями: “А является достаточным основанием для В”, “В , по­тому что А”, “В при условии выполнения А” и т.д. Если под А и В понимать прежние высказывания, то результат причинно-следственного отношения можно оформить следующей таблицей истинности. Вторая строка таблицы говорит об отсутствии причинно-следственного отношения между событиями А и В.

А	В		Результаты
0	о	1	Останусь сухим
1	о	0	Вымокну
о	1	1	Останусь сухим
1	1	1	Останусь сухим

Эквивалентность. Высказывание “А эквивалентно В” может быть с успехом заменено на “А равно В”, “А тождественно В”, “А равносильно В”, “А тогда и то­лько тогда, когда В” и т.д. Так как эквивалентность выражается через конъюнк­цию двух импликаций:

то это отношение часто возникает при одновременном выполнении двух усло­вий: “из А следует В” и “из В следует А”. Таким образом, при эквивалентности двух событий невозможно одному из них приписать роль только причины, а дру­гому — только следствия. Например, два события:

R = “Нарастание анархии в обществе”,

S = “Падение авторитета власти”,

являются вполне равнопорядковыми событиями, поскольку причиной нараста­ния анархии в обществе является падение авторитета власти; и наоборот, падение авторитета власти происходит из-за нарастания анархии в обществе. В данной си­туации бессмысленно обвинять только власть в слабости и некомпетентности или обвинять народ в несознательности и недисциплинированности.

События R и S образуют логический круг; их будем называть сильно связанны­ми событиями и выражать следующими тождественными формами:

.

Понятие “сильной связанности” совпадает с понятием “эквивалентности”, если речь идет о двух событиях. Но возьмем, к примеру, хорошо известное объ­яснение, на чем держится Земля:

Земля (X) держится на трех китах (Y), киты (Y) держатся на водах океана (Z), океан (Z) держится на Земле (X).

Последовательность, куда входят три названных объекта Х , Y и Z, тоже обра­зуют логический круг:

Однако отношение эквивалентности (быть взаимной опорой друг для друга) между всеми тремя объектами, т.е.

здесь не возникает, да и не могло возникнуть, так как мы ведь не утверждаем, что Земля является непосредственной опорой для китов (X ~ Y), или что киты являют­ся непосредственной опорой для вод океана (Y ~ Z). Поэтому эквивалентность в данном случае проявляется в весьма своеобразной форме:

или ,

что можно истолковать в случае операции эквивалентности как: одновременное появление всех трех опор произойдет тогда и только тогда, когда возникнет хотя бы одна из опор, и наоборот; для операции импликации: если возникнет ка­кая-нибудь одна из опор, то это приведет к появлению всех трех опор. Таким об­разом, сильная связанность или логический круг есть нечто промежуточное между причинно-следственным отношением и отношением эквивалентности. Подобные отношения возникают очень часто, например между членами преступной орга­низации, где все связаны круговой порукой и невозможно найти крайнего.

Существуют различия между языком и метаязыком, между объектными и субъектными выска­зываниями. Пренебрегая этим различием, мы рискуем впасть в противоречие, которое называется логическим парадоксом.

С древних времен известен так называемый “Парадокс лжеца”. Изложим его суть.

“Я лжец”, — сказал лжец.

Итак, некий лжец сообщает о себе, что он лжец. Следовательно, здесь он вы­ступает в своем противоположном качестве, а именно — нелжеца. Поэтому при­веденное высказывание на самом деле нужно понимать иначе:

“Я лжец”, — сказал нелжец.

Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что он лжец. Прав­дивому человеку мы, естественно, должны верить. Поэтому второе высказывание следует понимать все-таки так, как это отражено в первом высказывании. Таким образом, возникает неопределенность, заключающаяся в том, что непонятно, как квалифицировать говорящего — как лжеца или как нелжеца, т.е. непонятно, как идентифицировать высказывание — как истинное или как ложное.

Парадокс возник потому, что в приведенных высказываниях не делается раз­граничения между двумя принципиально различными логическими уровнями. Помимо “лжеца” или “нелжеца” в данной логической ситуации участвует субъ­ект (метанаблюдатель). Если провести четкое синтаксическое отделение смыс­лового содержания, которое должно относиться к нам, как метанаблюдателям, от прочей семантики объектных персонажей, то логическое противоречие будет снято. Ситуацию с лжецом необходимо представлять следующим образом:

“Я лжец”, — сказал лжец.

“Это истинно”, — сказал метанаблюдатель.

“Я лжец”, — сказал нелжец.

“Это ложно”, — сказал метанаблюдатель.

“Я нелжец”, — сказал лжец.

“Это ложно”, — сказал метанаблюдатель.

“Я нелжец”, — сказал нелжец.

“Это истинно”, — сказал метанаблюдатель.

ложно * ложно = истинно,

истинно * ложно = ложно,

ложно * истинно = ложно,

истинно * истинно = истинно.

Если приведенные четыре конструкции записать через два слова истинно и ложно, то получим обыкновенную таблицу умножения для группы из двух эле­ментов типа плюс и минус единицы. Однако источником противоречий в логике высказываний необязательно является смешение именно объектного и субъект­ного уровней. Неопределенность может возникнуть между различными объект­ными уровнями. В качестве примера приведем следующую фразу: “Нет правил без исключений”. Но фраза, стоящая здесь в кавычках сама является правилом. Так какое исключение должно следовать из него? Разберем это противоречие, несколько изменив его семантику. Пусть имеется высказывание:

А = “Любое высказывание является ложным”.

Так как А является высказыванием, на него должно распространяться сказан­ное в предложении А. Рассмотрим два случая:

1) Пусть А = 1. Это означает, что А = “А = 0” = 1, т.е. А = 0.

2) Пусть А = 0. Это означает, что А = “А = 0” = 0, т.е. А = 1.

Таким образом, в обоих случаях имеем противоречие. Чтобы его избежать, нужно произвести логическое разграничение всего множества высказываний на два принципиально различных класса — А и В. В этом случае формальная запись пер­воначальной фразы будет иметь вид: А = “В = 0”; тогда при А = 1, В = 0 и при А = 0, В=1.

Рассмотрим приведенный ранее парадокс Рассела с точки зрения логики высказываний:

В одной из деревень жил парикмахер. Он брил всех тех жителей деревни, кто не брился сам.

Вопрос: может ли парикмахер побрить самого себя? Начинаем рассуждать: если парикмахер захочет побрить самого себя, то как житель этого се­ления, который бреется сам, он не вправе это сделать; но если парикмахер не ста­нет бриться, то уже какжитель селения, который не бреется сам, он обязан будет себя побрить.

Выразим семантику этого противоречия формальным языком. Обозначим че­рез А парикмахера и пусть Р(А, В) означает высказывание “А бреет В”. Тогда си­туацию, которую мы имеем в селении, можно описать двумя метавысказывания-ми:

1) Если Р(В, В) = 0, то Р(А, В) = 1.

2) Если Р(В, В) = 1, то Р(А, В) = 0.

Когда парикмахер рассматривается в качестве рядового жителя селения (А = В), оба метавысказывания становятся внутренне противоречивыми:

1) Если Р(А, А) = 0, то Р(А, А) = 1.

2) Если Р(А, А) = 1, то Р(А, А) = 0.

Выражение Р(А, В) может означать “А учит В”, “А развлекает В” и т.д. При этом под А понимается учитель, юморист и т.д. И хотя А, наряду с В, формально является объектной переменной, ее нельзя ставить на один уровень с В, так как именно относительно А сформулированы метавысказывания.

Рассмотрим один из способов доказательства в логике высказываний.

В булевой логике все доказательства строились на отношении эквивалентно­сти. Даже если в множественньк выражениях и фигурировало отношение вклю­чения, что является частным случаем отношения порядка, то его мы переводили в тождество. Две логические функции считались эквивалентными, если они дава­ли на соответствующих наборах аргументов абсолютно одинаковые значения нулей и единиц. При использовании формальной записи логических выраже­ний отдельные звенья цепи любого доказательства там были связаны через сим­вол равенства “=”. Отношение эквивалентности удовлетворяет трем законам:

• рефлексивности: А = А;

• симметричности: если А = В , то В = А;

• транзитивности: если А = В и В = С, то А = С.

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и следствием. Здесь уже от­дельные звенья цепи доказательства связаны символом импликации. Однако символ импликации “ -> ” при логическом выводе мы будем заменять на символ “ ”, подобно тому, как в логике Буля используются два символа эквивалентно­сти — “ ~ ” и “ = ”. Символ “ ~ ” является объектным, а “ = ” — субъектным. Таким образом, следует различать язык логики высказываний и метаязык исследовате­ля. Во избежание путаницы введем еще два метасимвола: вместо объектной конъ­юнкции “&” будем использовать субъектный символ метаконъюнкции — “ , ”, а вместо объектной дизъюнкции “ ” — субъектную метадизъюнкцию “ ; ”. Тогда утверждение, которое требуется доказать, в логике высказываний оформляется в виде следующего причинно-следственного отношения:

, (1)

где — посылка (причина), С — заключение (следствие). Читается: “Если посылки истинны, то заключение С тоже истинно” или, по-другому: “Если причины имели место, то будет иметь место и следст­вие С”.

Чтобы не спутать объектное высказывание (предложение) с субъектным выска­зыванием, справедливость которого мы намереваемся установить, условимся предложения типа (1) называть клаузой (clause).

Клауза — это метапредложение, в котором использовано отношение порядка, оформленное через символ метаимпликации “ ”. Как и отношение эквивален­тности, отношение порядка удовлетворяет трем законам:

• рефлексивности: А А;

• антисимметричности: если А В , то ;

• транзитивности: если А В и В С, то А С.

В отличие от эквивалентности отношение порядка предполагает выполнение закона антисимметричности, который можно записать так:

если А В и В А, то А=В.

Клауза есть именно формальная запись доказываемого предложения. Вместо букв в ней можно подставить объектные высказывания, и тогда клауза наполня­ется конкретным содержанием, которое уже именуется семантикой или леген­дой. Пример клаузы:

.

Если принять, что

А = сверкнула молния, В = грянул гром, то можно составить следующую легенду:

Известно, что если сверкнула молния, то после этого грянет гром. Молния сверк­нула. Следовательно, должен и грянуть гром.

Над субъектом, который формулирует метапредложения, может стоять дру­гой субъект, для которого уже предложения первого субъекта окажутся объект­ными. Тогда клаузу (1) второй субъект или метасубъект запишет для себя сле­дующим логическим выражением:

.

Преобразовав это выражение в дизъюнкт, получим:

.

Отсюда легко находим:

.

Поэтому клауза (1) может быть представлена в другой эквивалентной форме:

(2)

В силу коммутативности конъюнкции на месте посылки может оказаться любая другая, причем не одна. Например, клауза:

может быть преобразована в другую эквивалентную форму:

(3)

Однако клауза (1) по сравнению с (2) и другими подобными формами, типа (3), имеет определенные преимущества и, в частности, используется в языке логического программирования ПРОЛОГ. Ее называют хорновской. Произ­вольную клаузу всегда можно свести путем эквивалентных преобразований к хорновскому виду.

Если символ метаимпликации “ ” клаузы (2) сместить в крайнее левое по­ложение, то она превратится в тавтологию; если же его сместить в крайнее пра­вое положение, то—в противоречие:

— тавтология,

- противоречие.