2.2. Основные элементарные тождества.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3. Формы представления булевых функций.
Любая функция
переменных
,
полученная путем суперпозиции
перечисленных элементарных булевых
функций, также является булевой функцией,
определенной на множестве наборов
переменных
.
Таблица истинности в данном случае
будет иметь следующий вид:
|
|
0 0 .…..0 0 0 0 .…..0 1 0 0 .…..1 1 ………………… 1 1 .…..1 1 |
………………
|
На основании
теоремы о булеане, данная таблица будет
иметь
строк (т.к. мера множества переменных
),
т.е. число всех наборов от
переменных равно
,
а число всевозможных булевых функций,
зависящих от
переменных равно
на основании той же теоремы.
Два набора
и
называются соседними
по
-ой
компоненте,
если они различимы только по значению
переменной
,
т.е.
,
.
Набор
называется предшествующим
к набору
и обозначается
,
если выполняется неравенство
при всех значениях
.
Переменная называется существенной, если на наборах, соседних по -ой компоненте, функция принимает различные значения, в противном случае переменная является фиктивной.
Замечание. Обнаружить фиктивные переменные некоторой функции можно не только по таблице истинности, но и аналитически: после всех элементарных преобразований функция содержит только существенные переменные.
Пример:
,
следовательно,
переменная
является фиктивной, а
и
- существенными.
Функции
и
называются равными,
если они могут быть получены одна из
другой путем добавления или исключения
фиктивных переменных.
Функция
называется монотонной,
если для любых двух наборов
и
,
таких что
выполняется
.
Теорема2: Какова бы ни была булева функция , она может быть представлена в следующем виде:
и данное представление называется разложением функции по -ой компоненте.
Рассмотрим
функцию трех переменных
и разложим ее последовательно по всем
переменным:
где
дизъюнкция берется по всем возможным
наборам переменных
.
Аналогичное разложение может быть
получено для большего числа переменных.
Приведенное разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
Данная форма называется совершенной, потому что каждое слагаемое в дизъюнкции включает все переменные, дизъюнктивной, потому что главная операция – дизъюнкция и нормальной, т.к. существует алгоритм проверки равносильности. При этом
Иными словами, для того, чтобы построить СДНФ, необходимо в таблице истинности рассмотреть те наборы, на которых функция равна 1 и навесить отрицания на те переменные, которые на данных наборах равны 0 (т.к. все остальные слагаемые будут равны 0 по тождеству 9).
Если в данном разложении учесть двойственность дизъюнкции и конъюнкции (см. ранее) и заменить все дизъюнкции на конъюнкции, а конъюнкции – на дизъюнкции, получаем следующее представление, имеющее название СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма):
Иными словами, для того, чтобы построить СДНФ, необходимо в таблице истинности рассмотреть те наборы, на которых функция равна 0 и навесить отрицания на те переменные, которые на данных наборах равны 1 (т.к. все остальные сомножители будут равны 1 по тождеству 5).
Если в разложении
булевой функции
заменить все дизъюнкции на функцию
и учесть тождество 12
,
получаем следующее представление,
имеющее название СПНФ3
(совершенная полиномиальная нормальная
форма) или полином Жигалкина4:
,
где a,b,c,…,h – некоторые коэффициенты, которые могут быть найдены по таблице истинности.
СПНФ может быть также построена методом навешивания двойного отрицания. Основное необходимое тождество в данном случае - .
Пример:
.
Функция называется линейной, если в ее разложении в СПНФ отсутствуют конъюнкции.
Теорема:
Какова бы ни была булева функция
,
она может быть выражена через функции
,
которые являются базисом.
Доказательство:
Если функция
,
то она может быть представлена в
следующем виде:
.
Если функция
,
то она может быть представлена в
следующем виде:
.
В противном случае функция
может быть представлена в виде СДНФ.
Теорема доказана.