1.4. Разбиения и покрытия

Пусть — некоторое семейство подмножеств множества , .

Семейство называется покрытием множества , если каждый элемент принадлежит хотя бы одному из .

.

Семейство называется дизъюнктным, если элементы этого семейства попарно не пересекаются, то есть каждый элемент множества М принадлежит не более чем одному из множеств :

ø.

Дизъюнктное покрытие называется разбиением множества М.

Пример

Пусть М: ={1,2,3}. Тогда {{1,2}, {2,3}, {3,1}} является покрытием, но не разби­ением; {{1}, {2}, {3}} является разбиением (и покрытием), а семейство {{1}, {2}} является дизъюнктным, но не является ни покрытием, ни разбиением.

Булеан - множество всех подмножеств множества М: .

Теорема о булеане: Для любого конечного множества выполняется

.

Доказательство:

База индукции: пусть М = ø, тогда и = {ø}. Поскольку и |{ ø }| то условие теоремы выполняется.

Индукционный переход: пусть условие теоремы выполняется для , , т.е. . Рассмотрим множество, мера которого и . Поскольку последний добавленный элемент входит не во все подмножества из рассматриваемого булеана, введем следующие обозначения:

и .

При этом и ø. По индукционному предположению и . Следовательно,

.

Теорема доказана.

Пересечение, объединение и разность подмножеств множества U (универсума) являются подмножествами множества U. Множество всех подмножеств множе­ства U с операциями пересечения, объединения, разности и дополнения образует алгебру подмножеств множества U.

1.5. Представление множеств в эвм.

Если универсальное множество (универсум) велико или бесконечно, а рассматриваемые подмножества универсума не очень велики, то представление с помощью битовых шкал не является эффективным с точки зрения экономии памяти. В этом случае множества обычно представляются списками элементов. Элемент списка при этом представляется записью с двумя полями: информационным и указателем на следующий элемент. Весь список представляется указателем на следующий элемент.

При таком представлении трудоемкость операции составит , а трудоемкость операций , и составит , где и - мощности участвующих в операции множеств.

Если элементы списка упорядочить , например, по возрастанию значения поля , то трудоемкость всех операций составит . Эффективная реализация операций над множествами, представленными в виде упорядоченных списков, основана на весьма общем алгоритме, известном как алгоритм типа слияния. Алгоритм типа слияния параллельно просматривает два множества, представленных упорядоченными списками, причем на каждом шаге продвижение происходит в том множестве, в котором текущий элемент меньше.

1.5.1. Включение множеств.

Входные параметры: проверяемые предварительно упорядоченные конечные множества А мощности и В мощности .

Выходные параметры: , если и , если .

1. Указатели в списках А и В расположены на первых элементах списков ( ). Пока список А не пуст и список В не пуст ( и ) выполнять цикл: while

2. Если А_i < B_j, то , конец цикла;

3. Если А_i > B_j, то , перейти к 2;

4. Если А_i = B_j, то , , , перейти к 2;

5. End while.

6. Если , но , то .