1.2. Задание множеств
Существует три наиболее распространенных способа задания множеств:
перечисление элементов:
;характеристический предикат:
(это некоторое условие, выраженное в
форме логического утверждения или
процедуры, возвращающей логическое
значение. Если для данного элемента
условие выполнено, то он принадлежит
определяемому множеству, в противном
случае — не принадлежит)порождающая процедура:
(это
процедура, которая, будучи запущенной,
порождает некоторые объекты, являющиеся
элементами определяемого множества)
Пример: Требуется задать множество натуральных чисел от 10 до 17.
1. М: ={10,11,12,13,14,15,16,17};
2. M:={
};
3. M: = {
}.
Перечислением можно задавать только конечные множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.
Пример:
N: = {n | n: = 0; while true do begin n: = n + 1; writeln n; endwhile}.
Парадокс Рассела:
Пусть Y
- множество
всех множеств, не содержащих себя в
качестве элемента, т.е.
.
Тогда невозможно ответить на вопрос о
принадлежности
.
Доказательство: Пусть Y Y, но это означает, что Y содержит само себя, а по условию Y - множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, т.е. Y Y. Пусть Y Y, тогда Y Y по условию, т.к. не содержит себя. Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.
Данный парадокс известен также как парадокс брадобрея (или цирюльника) и будет рассмотрен в разделе парадоксов исчисления высказываний.
1.3. Операции над множествами
Множество А содержится в множестве В (множество В включает множество А), если каждый элемент А есть элемент В:
.
В этом случае А называется подмножеством В, В — надмножеством А.
Множество
А называется
собственным
подмножеством множества В,
если
и
.
Если множество
не является собственным подмножеством
множества
,
имеет место следующее обозначение:
(
является подмножеством
и может быть совпадающим с ним).
Каково бы ни было
множество
выполняются следующие два свойства:
;ø
Два множества равны, если они являются подмножествами друг друга:
.
Мощность
множества М
обозначается как |М|. Для конечных
множеств мощность — это число
элементов. Например, |
ø
| = 0, но |{
ø }| == 1.
Если
,
то множества
и
называются равномощными.
Каковы бы ни были два множества и между ними возможны следующие операции:
1. Пересечение.
2. Объединение.
3. Разность.
4. Дополнение
(отрицание).
Операция дополнения
подразумевает некоторый универсум
(универсальное множество)
:
.
5. Симметрическая разность
Здесь помимо самих операций приведены диаграммы Эйлера (в некоторой литературе1 принято название Эйлера-Вена), иллюстрирующие операции над множествами. Сами исходные множества изображаются фигурами (в данном случае овалами), а результат графически выделяется (в данном случае для выделения использована штриховка).