Министерство образования и науки российской федерации федеральное агентство по образованию

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Захарова ю.Ф. Дискретная математика и ее приложения

Учебное пособие

ПЕНЗА 2007

Рецензенты:

Кафедра “Математики и инженерной графики”

Пензенского Артиллеристского Инженерного Института

Проректор по информатизации, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой

“Прикладная математика и информатика”

Пензенского Педагогического Университета им. В.Г. Белинского

В.М. Линьков

Захарова Ю.Ф.

Дискретная математика и ее приложения: Учебное пособие. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007.

Приведен краткий курс лекций по некоторым разделам дискретной математики, в частности, теории множеств, булевой алгебре, исчислению предикатов и высказываний, теории кодирования и сжатия текстовой и графической информации, а также введение в криптографию.

Учебное пособие подготовлено на кафедре “Высшая и прикладная математика” и предназначены для студентов специальности “Прикладная математика”, изучающих курс “Дискретная математика”.

Введение

Интерес к дискретной математике объясняется в постоянно растущей в последние десятилетия потребностью в ней в связи с развитием широких областей ее применения – в электронике, информатике, многочисленных вопросах оптимизации. Сейчас повсеместно курсы дискретной математики входят в программы обучения математиков и инженеров. За последние годы появились разнообразные учебники по этой дисциплине, по содержанию разительно не похожие друг на друга.

В данном учебном пособии кратко рассматриваются общие разделы дискретной математики и более подробно - различные алгоритмы сжатия и кодирования текстовой и графической информации. Текстовая информация большого объема хранится на дисках и передается по каналам связи зачастую лишь в запакованном виде. Алгоритмы сжатия изображений являются достаточно актуальными, поскольку актуальным является вопрос о размерах памяти, необходимой для хранения изображений, полученных современными средствами обработки цифровых изображений с высоким разрешением. Важнейшей задачей является также защита передаваемой информации от несанкционированного вмешательства – этому также посвящена значительная часть пособия.

Целью учебного пособия является помощь в изучении дискретной математики, приобретение навыков работы с различными алгоритмами, в том числе сжатия информации, а также обучение основам криптографии, которые образуют теоретический фундамент, необходимый для корректной постановки и решения проблем в области информатики, для осознания целей и ограничений при создании вычислительных структур, алгоритмов и программ обработки информации.

Глава 1. Введение в теорию множеств.

1.1. Основные определения.

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых по­нятий математики.

Множество — это любая определенная со­вокупность объектов.

Элементы - объекты, из которых составлено множество.

Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадле­жит М. Обозначение: х М. В противном случае говорят, что х не принадле­жит М. Обозначение: х М.

Существуют две проблемы в вопросах понятия элемента множества и его принадлежности

1. проблематична отличимость элементов. Например, символы о и а, ко­торые встречаются на этой странице, — это один элемент множества А (в смысле они оба являются буквами) или два разных элемента (потому что это разные буквы)?

2. проблематична возможность (без дополнительных усилий) ука­зать, принадлежит ли данный элемент данному множеству. Например, является ли число 86958476921537485067857467 простым?

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств.

Класс (се­мейство) множеств - множество, элементами которого являются множества.

Пустое множество – множество, не содержащее элементов. Обозначение: ø.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из неко­торого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).