§ 6. Закон распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x, y). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную
величину геометрически можно истолковать
как случайную точку М
(X,
Y)
на плоскости
либо как случайный вектор ОМ.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.
Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например, в виде функции распределения.
Функцией
распределения
вероятностей двумерной случайной
величины называют функцию F(x,
y),
определяющую для каждой пары чисел (x,
y)
вероятность того, что Х
примет значение, меньшее
,
и при этом Y
примет значение, меньшее y:
Функция распределения обладает следующими свойствами:
Свойство 1.
Свойство 2.
если
если
Свойство 3.
Свойство
4.
а) При
где
-
функция распределения составляющей Х.
б)
При
где
-
функция распределения составляющей Y.
Используя
функцию распределения, можно найти
вероятность попадания случайной точки
в прямоугольник
:
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:
.
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле
Вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в область D определяется равенством
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
Свойство 1.
Свойство 2.
Задача 16. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y |
Х |
|||
26 |
30 |
41 |
50 |
|
2,3 2,7 |
0,05 0,09 |
0,12 0,30 |
0,08 0,11 |
0,04 0,21 |
Найти законы распределения составляющих.
Решение.
Сложив вероятности «по столбцам»,
получим вероятности возможных значений
Х:
;
;
;
.
Напишем закон распределения составляющей Х:
-
Х
26
30
41
50
p
0,14
0,42
0,19
0,25
Контроль: 0,14+0,42+0,19+0,25=1.
Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределение составляющей Y:
Y |
2,3 |
2,7 |
p |
0,29 |
0,71 |
Контроль: 0,29+0,71=1.
Задача 17. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y).
Решение.
Используем формулу
.
Найдем частные производные:
Итак, искомая двумерная плотность вероятности
Задача 18. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X, Y)
Найти функцию распределения системы.
Решение. Используем формулу
Тогда
Задача
19. Задана
двумерная плотность вероятности
системы (X,
Y)
двух случайных величин. Найти постоянную
С.
Решение. Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:
Отсюда
Найдем двойной интеграл:
Таким
образом,
