Електронні цифрові пристрої

1. Загальні відомості про цифрові сигнали

Поява імпульсних пристроїв створила матеріальну базу для розробки цифрових вимірювальних приладів, систем передачі цифровій інформації, ЕОМ. Вся ця техніка здійснює операції над цифровими сигналами. Такі сигнали приймають лише два значення "0" або "1". Їх називають станами. Число станів m = 2. Фізично стани задаються певним рівнем напруги, наприклад "0" – напругою  "1" – напругою 

Повідомленнями часто служать цифри. Сукупність цифр утворюють алфавіт L. Кількість цифр від 0 до 9 визначають об'єм алфавіту, тобто L = 10. Передати десять цифр двома станами не можна. Тому кожній цифрі ставлять у відповідність не один, а декілька імпульсів – n.

Сукупність з n імпульсів називають кодовою комбінацією. Імпульси в кодовій комбінації називають розрядами. Число розрядів – nназивають довжиною кодової комбінації. Оскільки кожен розряд може приймати один з двох станів, то сукупність з n розрядів дозволяє створити   різних кодових комбінацій. Якщо   то такий код може забезпечити передачу L цифр. Для  Як приклад можна поставити наступну відповідність цифр і кодових комбінацій.

Рис. 1

У приведеному прикладі кожній цифрі відповідає чотири розрядна кодова комбінація. Поява одиниці послідовна в кожному з розрядів відповідає цифрам 8; 4; 2; 1. Ці цифри називаються вагами розрядів, а розглянутий код – кодом з вагою 8-4-2-1. Кожному з розрядів коди можуть бути привласнені та інші ваги, наприклад 4-2-2-1 або 2-4-2-1. Цифрам можуть бути поставлені у відповідність інші кодові комбінації, наприклад код надлишком три.

Принцип формування кодових комбінацій може бути іншим. Наприклад, якщо кожна кодова комбінація відрізняється від сусідніх станом тільки одного з розрядів, то отримуємо код:

Рис. 2

Приведені приклади показують, що кількість кодів велика. Найширше застосовується код 8-4-2-1.

Будь-яке число десяткової системи числення N можна представити двійковим кодом у вигляді

Форм. 1

де n – число двійкових розрядів; Ki – коефіцієнт, що визначає стан i-го розряду: 0 або 1.

Наприклад, число 258 в двійковій системі має вигляд:

Форм. 2

Проте найбільш зручна двійково-десяткова система. У такій системі цифрі кожного десяткового розряду відповідає кодова комбінація коди 8-4-2-1. Наприклад, число 258 в двійково-десятковій системі має вигляд:

Форм. 3

Формування цифрової інформації може бути різним. У ЕОМ інформація вводиться у вигляді цифр. У вимірювальних приладах вимірювана величина перетвориться, наприклад, в рівень напруги, який потім перетвориться в код, що визначає результат вимірювання числом. У системах зв'язку безперервний сигнал дискретизується за часом, кожен дискретний відлік квантується по рівню, а потім рівень кожного дискретного відліку перетвориться в код. Таке перетворення виконується аналого-цифровими перетворювачами.

Основні операції та елементи алгебри логіки

Основою побудови будь-якого пристрою, що використовує цифрову інформацію, є елементи двох типів: логічні і такі, що запам'ятовують. Логічні елементи виконують прості логічні операції над цифровими сигналами. Елементи, що запам'ятовують, служать для зберігання цифрової інформації (стани розрядів кодової комбінації).

Логічна операція полягає в перетворенні по певних правилах вхідних цифрових сигналів у вихідні. Математично цифрові сигнали позначають порозрядними символами, наприклад x1, x2, x3, x4. Їх називають змінними. Кожна змінна може приймати значення "0" або "1". Результат логічної операції часто позначають F або Q. Він також може мати значення "0" або "1". Математичним апаратом логіки є алгебра Буля. У булевій алгебрі над змінними "0" або "1" можуть виконуватися три основні дії: логічне складання,логічне множення і логічне заперечення.

Логічне складання (диз'юнкція або операція АБО) записується у вигляді

Форм. 4

Правила виконання операції АБО полягають в наступному:

Форм. 5

Логічні схеми, що реалізовують операцію АБО; називають осередками АБО. Їх схемне позначення приведене на рис. 3 а. Проста реалізація логічного осередку АБО на діодах приведена на рис. 3 б. Напруга на виході схеми буде рівна E (F=1), якщо хоч би на один з входів буде поданий одиничний сигнал.

Рис. 3

Логічне множення (кон'юнкція або операція І) записується у вигляді

Форм. 6

Правила виконання операції І полягають в наступному

Форм. 7

Логічні схеми, що реалізовують правила (7), називаються осередками

І

. Іх схемне позначення приведене на рис. 4 а. Проста реалізація логічного осередку І на діодах приведена на рис. 4 б. Напруга на виході   тільки в тому випадку, якщо всі діоди будуть закриті, тобто на всіх входах буде потенціал Е (логічна 1). Діод, що інакше відкрився, шунтує навантаження і 

Рис. 4

Логічне заперечення (інверсія або операція НІ) записується у вигляді

Форм. 8

і читається: F не рівне x. Правила виконання операції НІ полягають в наступному

Форм. 9

Логічні схеми, що реалізовують правило (9) називаються осередками НІ. Їх графічне позначення приведене на рис. 5. Операція НІможе бути реалізована схемою транзисторного ключа.

Рис. 5

Розглянуті логічні правила і схеми дозволяють реалізувати скільки завгодно складну логічну функцію. Наприклад, функція

Форм. 10

реалізується п'ятьма логічними елементами, зокрема два елементи І, два елементи НІ і один елемент АБО ( рис. 6).

Рис. 6

Основні теореми алгебри логіки

Теореми для однієї змінної охоплюють всі операції над змінною x і константами "0" і "1":

Форм. 11

Теореми для двох або більш за змінні – x і у:

10. закон переміщення:

Форм. 12

11. закон сполучення:

Форм. 13

12. Розподільний закон:

Форм. 14

Доказ:

Форм. 15

Тут до дужки застосована теорема 2.

13. Закон поглинання:

Форм. 16

Доказ:

Форм. 17

14.

Форм. 18

Доказ:

Форм. 19

15. Закон склеювання:

Форм. 20

Доказ:

Форм. 21

16. Закон заперечення (теорема де-Морана)

Форм. 22

Булеві функції (функції логіки)

Результат виконання логічних операцій над двійковими змінними називається булевою функцією F. Вона може приймати тільки два значення – "0" або "1". Задати булеву функцію – означає вказати її значення при всіх можливих комбінаціях змінних (аргументів). Якщо число змінних рівне "n", то число можливих комбінацій рівне 2ⁿ . Коли значення функції відоме для всіх комбінацій, вона називається повністю визначеною. Інакше – частково визначеною.

Булеві функції необхідні для синтезу цифрових пристроїв, що містять тільки логічні елементи. Для представлення булевих функцій часто застосовують словесний опис, табличне і алгебру уявлення.

Словесний опис функції повинен однозначно визначати всі випадки, в яких вихідні сигнали приймають значення "1" або "0". Наприклад: Спроектувати пристрій з трьома входами x1, x2, x3, на виході якого сигнал F = 1 у випадку, якщо на будь-яких два або на всі три входи поданий сигнал "1".

Табличне уявлення – це перерахування всіх можливих комбінацій вхідних сигналів. Для пристрою, заданого приведеним вище словесним описом, таблиця значень має вигляд

Tаблиця істинності

Форма алгебраїчного представлення булевих функцій використовується для мінімізації (спрощення формул) і для побудови логічних схем. Існує дві форми алгебраїчних функцій – диз'юнктивна і кон'юнктивна. Диз'юнктивна нормальна форма є сумою елементарних добутків аргументів, наприклад

Форм. 23

Якщо кожен доданок містить всі аргументи або їх заперечення, то отримуємо досконалу диз'юнктивну нормальну форму (ДДНФ), наприклад

Форм. 24

Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ) є логічним добутком елементарних логічних сум, причому кожна сума містить всі аргументи або їх заперечення, наприклад

Форм. 25

Для переходу від таблиці істинності до ДДНФ враховуються тільки ті стани, для яких функція рівна 1. Для кожного такого стану записується елементарний добутокр всіх аргументів. Якщо аргумент має значення "0", то записується його заперечення. Для приведеного прикладу ДДНФ має вигляд

Форм. 26

Для переходу від таблиці істинності до ДКНФ враховуються тільки ті стани, для яких функція рівна "0". Для кожного такого стану записується елементарна сума аргументів. Якщо аргумент має значення "1", то пишеться його заперечення. Для приведеного прикладу ДКНФ має вигляд

Форм. 27

На підставі отриманих формул (26) або (27) можна побудувати логічну схему, що складається з елементів "АБО", "І", "НІ". Для функції (26) спочатку зображаються інвертори, потім осередки "І" і потім осередки "АБО" (рис. 7).

Рис. 7

Схеми рис. 7 і рис. 8 містять всі типи логічних елементів. У зв'язку з цим створені логічні елементи, здатні виконати просту функцію двох аргументів "АБО-НІ", а також "І-НІ". За допомогою кожного з цих елементів можна виразити всі основні операції булевої алгебри, а значить реалізувати будь-яку логічну функцію.

Рис. 8

Дискретні (цифрові) автомати

Дискретними автоматами прийнято називати пристрої, що служать для перетворення дискретної інформації. У сучасних цифрових автоматах прийнято звичайно ототожнювати букви використовуваного стандартного алфавіту з цифрами тієї чи іншої системи числення (найчастіше двійковій або десятковій).Тому дискретні автомати прийнято також називати цифровими автоматами.

Основною якістю, виділяє дискретні автомати з числа всіх інших перетворювачів інформації, є наявність дискретної (при цьому у реальних автоматах завжди кінцевої) безлічі внутрішніх станів і властивості стрибкоподібного переходу автомата з одного стану в інший. Стрибкуватість переходу означає можливість трактувати цей перехід як миттєвий, причому як такий, що відбувається безпосередньо, минаючи будь-які проміжні стани.

Зміни станів цифрового автомата називаються вхідними сигналами, що виникають поза автомата і передаються в автомат за кінцевим числом вхідних каналів.

Результатом роботи цифрового автомата є видача вихідних сигналів, що передаються з автомата в зовнішні ланцюги за кінцевим числа вихідних каналів.

Цифровий автомата (першого або другого роду) називається правильним, якщо вихідний сигнал y(t) визначається лише одним його станом (a (t-1) або a (t)) і не залежить явно від вхідного сигналу x(t). Автомати першого роду звичайно також називаютьавтоматами Міля, за ім'ям американського вченого, який вперше почав їх систематичне вивчення. Особливий інтерес на практиці мають правильні автомати другого роду, відомі зазвичай під більш короткою назвою - автоматів Мура.