Резонанс напруги

Резонанс напруги виникає у ланцюгах з послідовним включенням елементів (рис.20)

Рис. 20

Відомо, що комплексний опір струмів ланцюгу визначається виразом.

  Форм. 122

За визначенням резонанс в ланцюзі рис.20 наступає коли виконається умова

  Форм. 123

Звідси видно, що резонанс в ланцюзі виникає на частоті

  Форм. 124

Очевидно також, що

  Форм. 125

Бачимо, що отримані вирази повністю відповідають (114) і (115). Це підтверджує єдність фізичної суті різних видів резонансу.

Визначимо струм і напругу всього ланцюга, а також падіння напруги на її окремих елементах в режимі резонансу.

Оскільки опір всьому ланцюгу в режимі резонансу мінімально і рівне R то струм в ній максимальний і рівний

  Форм. 126

а падіння напруги визначається е р с джерела - Е.

Падіння напруги на окремих елементах легко знайти за законом Ома. Так, падіння напруги на резисторі R рівне U

  Форм. 127

Тривіальний, з точки зору математики, результат цікавий по фізичній суті. Вся напруга джерела виділяється на одному елементі ланцюга.

Падіння напруги на індуктивності рівне

  Форм. 128

Величина

  Форм. 129

називається добротністю і може приймати значення десятків і сотень одиниць. Значить, падіння напруги на індуктивності може в десятки і сотні разів перевищувати е р с джерела.

Падіння напруги на ємкості рівне

  Форм. 130

Оскільки   то падіння напруги на ємності рівне по величині падінню напруги на індуктивності, але згідно (113) вони протилежні по знаку. Відношення напруги на індуктивності або на ємкості в режимі резонансу до струму в цьому режимі називають характеристичним опором   причому

  Форм. 131

Через те що

  Форм. 132

даний режим названий резонансом напруги. Протилежні фази напруги   указують на те, що в ланцюзі відбувається такий же коливальний процес з частотою   як і в паралельному коливальному контурі.

Тут також енергія джерела витрачається тільки на подолання опору резистора R. Тому ланцюг називається послідовним коливальним контуром.

Завершимо аналіз резонансу напруги розбором частотної залежності струму ланцюга (pис. 20) і падінь напруги на елементах L і C від частоти (рис. 21).

Рис. 21

На малюнку пунктиром відмічений графік е р с . Падіння напруги на ідеальній індуктивності при   рівно нулю. Із збільшенням частоти опір індуктивності, а значить і падіння напруги на ній збільшується. Коли частота спрямовується в нескінченність опір Х_l також спрямовується в нескінченність. При цьому падіння напруги прагне до Е. Проміж крайніми крапками існує екстремум напруги   який знаходиться по формулі

  Форм. 133

Частота, на якій досягається цей максимум визначається виразом

  Форм. 134

Опір ємкості на частоті   рівно нескінченності і означає напругу на її обкладаннях рівне E. Із збільшенням частоти опір ХС зменшується, а при   прагне до нуля.

Між крайніми крапками також існує екстремум причому

  Форм. 135

Частота, на якій досягається цей максимум визначається виразом

  Форм. 136

Оскільки підкорінний вираз в (134) і (136) завжди менше одиниці те очевидне, що

  Форм. 137

Крім того

  Форм. 138

Через ці особливості єдиною вірною ознакою настання резонансу в ланцюзі є максимум струму, значення якого змінюється із зміною частоти по резонансній кривій.

Властивості феромагнітних матеріалів.

Магніти та їх властивості

Тіла, що володіють властивістю притягати залізні і сталеві предмети, називаються магнітами. Магніти бувають природні і штучні. Шматки магнітного железняка (руді) називаються природними магнітами, а намагнічені сталеві стрижні — штучними магнітами. Дуже часто штучні магніти називаються постійними магнітами. На рис. 1 показані магніти різної форми.

Властивості магніту притягати залізні предмети найбільшою мірою виявляються на його кінцях (див. рис. 1), які називаютьсямагнітними полюсами.

Лінія, що проходить через середину магніту, де не виявляється магнітних властивостей, називається нейтральною лінією абонейтраллю.

Полюси постійного магніту, вільно підвішеного, займають цілком певне положення — один показує на північ, а інший на південь земної кулі. Відповідно цьому полюс магніту, що показує на північ, називається північним полюсом (N), а полюс, що показує на південь, — південним полюсом (S).

Рис. 1 Різні форми постійних магнітів

Встановлено, що однойменні полюсы магнітів взаємно відштовхуються, а різнойменні притягуються (рис. 2. а). Досліди показують також, що якщо вільно укріплену магнітну стрілку розташувати поблизу провідника із струмом, то вона по відношенню до провідника займе цілком певне положення (рис. 2. 6). Це означає, що магнітна стрілка і провідник із струмом взаємодіють між собою так само, як взаємодіють постійні магніти.

Рис. 2 Взаємодія магнітних полів

а — полюсів; б — струму і магніту

Явища, при яких відбувається взаємодія між постійними магнітами або між магнітом і провідником із струмом, називаютьсямагнітними явищами, а сила цих взаємодій — магнітною силою.

Магнітне поле.

Магнітне поле — це форма існування матерії, одна із сторін електромагнітного поля. Воно створюється рухомими зарядженими частинками і спостерігається біля провідників з електричними струмами і постійних магнітів, в яких в тій або іншій формі рухаються заряджені частинки.

Характерною особливістю магнітного поля є те, що воно певним чином орієнтує магнітну стрілку, діє на рухомі заряджені частинки і створює в провіднику, рухомому в полі, електрорушійну силу. Іншими словами, магнітне поле виявляється у виникненні механічних сил, що діють на електричний струм, і в створенні електрорушійних сил в провідниках, рухомих в межах поля. Це означає, що магнітне поле володіє цілком певною енергією.

Магнітне і електричне поля тісно зв'язані між собою і представляють дві сторони єдиного електромагнітного поля. Проте за певних умов яка-небудь сторона електромагнітного поля буває виражена більше іншої. Так, біля заряджених тіл, що покояться щодо спостерігача, виявляється тільки електричне поле і біля постійних магнітів явно спостерігається тільки магнітне поле.

Рис. 3 Магнітні поля

а — стрижньового магніту; б — провідника із струмом

Магнітне поле, подібно до електричного поля, графічно зображають силовими або магнітними лініями. За напрям магнітних ліній, або, як то кажуть, за напрям поля, умовно прийнятий той напрям, який показує північний полюс магнітної стрілки, поміщеної в дану точку поля. Тому магнітні лінії в полі проводяться так, щоб напрям дотичній в кожній точці поля співпадав з напрямом магнітної стрілки, тобто з напрямом її північного полюса.

Магнітні лінії, як показують досліди, не мають ні почала, ні кінця, тобто вони завжди замкнуті. Так, наприклад, магнітні лінії поля постійного магніту (мал. 3,3,а), выходячи з одного полюса і входячи в інший, замикаються усередині магніту. Д1агнітниє лінії поля прямолінійного провідника із струмом (pис. 3. 6) мають форму концентричних кіл. Тому магнітне поле є вихровим полем і змінюється по законах вихорів.

Основними величинами, що кількісно характеризують магнітне поле, є магнітна індукція, магнітний потік і напруженість магнітного поля.

Магнітна індукція.

Під магнітною індукцією розуміється величина, що характеризує інтенсивність магнітного поля в кожній точці середовища. Про величину магнітної індукції можна судити по будь-якому прояву магнітного поля, зокрема по величині тієї механічної сили, з якою магнітне поле діє на рухомі в нім заряджені частинки. Цю силу можна визначити за допомогою рухомого точкового заряду.

Дійсно, якщо в магнітному полі перпендикулярно магнітним лініям переміщати точковий заряд q із швидкістю v, то на заряд діятиме магнітне поле з силою F. Визначивши цю силу і розділивши її на величину точкового заряду і його швидкість, отримаємо нову величину, звану магнітною індукцією.

Магнітна індукція позначається буквою B і виражається формулою

Форм. 1

Таким чином, магнітною індукцією в даній крапці Називається сила, що доводиться на одиницю заряду рухомої зарядженої частинки, поміщеної в дану точку поля.

Магнітна індукція вимірюється у вольт-секундах на квадратний метр або у веберах на квадратний метр.

Форм. 2

Ця одиниця є дуже великою, тому на практиці часто користуються дрібнішою одиницею абсолютної електромагнітної системи СГС — гаусом.

Між цими одиницями існує наступне співвідношення: 1 вб/м² = 104 гс.

Магнітна індукція, як і сила, характеризується величиною і напрямом. Тому магнітна індукція є векторною величиною. Напрям вектора магнітній індукції співпадає з напрямом магнітного поля.

Магнітне поле називається рівномірним або однорідним, якщо магнітна індукція в усіх точках поля однакова. Навпаки, магнітне поле називається неоднорідним, якщо магнітна індукція неоднакова в різних точках поля.

Магнітне поле струмів.

Електричний струм, як указувалося вище, створює магнітне поле. Причому залежно від форми шляху струму або, інакше, його форми створюються різні конфігурації магнітних полів. Так, зокрема, струм, проходячи по прямолінійному провідникові (див. рис. 3. 6), створює навколо нього магнітне поле, лінії якого розташовуються у вигляді концентричних кіл.

Напрям магнітного поля, провідника, що утворюється навколо, залежить від напряму струму в провіднику. Всяка зміна напряму струму пов'язана із зміною напряму магнітного поля. Для визначення напряму такого поля застосовується правило буравчика (рис. 3.6): якщо буравчик угвинчувати по напряму руху струму в провіднику, то обертання його рукоятки покаже напрям магнітного поля.

Величина напруженості магнітного поля, що створюється струмом, залежить від величини струму, довжини і форми провідника і від відстані між провідником і точкою поля, напруженість в якій визначається.

Рис. 4 Пояснення до правила буравчика

Зокрема, напруженість H в будь-якій точці магнітного поля, що виникає навколо довгого прямолінійного провідника із струмом 1, визначається по формулі

Форм. 3

Де a — відстань від провідника до даної точки поля.

На підставі цієї формули визначається одиниця вимірювання напруженості поля

Форм. 4

Магнітні лінії витка із струмом, залишаючись замкнутими на себе кривими лініями, виходять з одного боку витка і входять в нього з іншою (рис. 5). В результаті цього усередині витка напруженість поля збільшується і виток із струмом утворює два полюси: північний — з того боку, звідки магнітні лінії виходять, і південний — з того боку, куди магнітні лінії входять. Напруженість магнітного поля в центрі витка визначається по формулі

Форм. 5

де H — напруженість магнітного поля, а/м; I — струм, a; R — радіус витка (кільця), м.

Рис. 5 Магнітне поле витка із струмом

Якщо провідник із струмом звити у вигляді спіралі (Рис. 6), то отримаємо так званий соленоїд. Магнітне поле соленоїда, що є сумою магнітних полів окремих витків, має велику схожість з полем прямолінійного магніту. Магнітні лінії цього поля виходять з одного кінця соленоїда і, огинаючи його, повертаються в інший, тобто соленоїд має полюси. Найменування цих полюсів знаходять за правилом правої руки: якщо праву руку накласти долонею на витки соленоїда так, щоб витягнуті чотири пальці показували напрям струму у витках, то відігнутий великий палець покаже північний полюс соленоїда.

Рис. 6 Магнітне поле соленоїда

Напруженість магнітного поля усередині соленоїда, якщо довжина соленоїда більше радіусу його перетину, визначається по формулі

Форм. 6

де H — напруженість магнітного поля, а/м ; I — струм, що протікає по соленоїду b>a; w, L— відповідно кількість витків і довжина соленоїда, м.

Соленоїди мають властивість втягувати в себе феромагнітні предмети.

Магнітні ланцюги.

Практичним результатом теорії магнітного поля є математичний апарат і методи розрахунку електромагнітних пристроїв. Будь-який електромагнітний пристрій складається з елементів (котушок, постійних магнітів), що намагнічують, і магнітопроводу. Розрахунок полягає у визначенні матеріалів і геометричних розмірів магнітопроводу, струму котушки, числа її витків і її розмірів.

Котушка, що намагнічує, створює магнітне поле в магнітопроводі і в навколишньому просторі. Оскільки  феромагнітних матеріалів багато більше  то основна частина ліній магнітного поля проходить по магнітопроводу.

Сукупність феромагнітних тіл і середовищ, по яких замикається магнітний потік, називається магнітним ланцюгом.

При аналізі магнітних ланцюгів допускаються наступні спрощення:

1. Магнітне поле зображується розподілом магнітних силових ліній в магнітопроводі. Якщо поле рівномірно розподілене по перетину магнітопроводу, то його зображають паралельними лініями.

2. Магнітна індукція і напруженість вважаються рівномірно розподіленими за об'ємом магнітопроводу.

3. Магнітний потік вважається зосередженим тільки в магнітопроводі.

Магнітні ланцюги діляться на однорідні і неоднорідні, розгалужені і нерозгалужені. Однорідний магнітний ланцюг - це замкнутий магнітопровід з рівномірною обмоткою. Кожен виток обмотки створює лінії магнітної індукції, які замикаються по магнітопроводу. Сукупність витків створює загальний магнітний потік.

На практиці широко застосовуються неоднорідні магнітні ланцюги. У таких ланцюгах обмотка зосереджена в одному місці, а магнітопровід має ділянки з різною магнітною проникністю  (рис. 7)

Рис. 7

З урахуванням перерахованих спрощень вважається, що весь магнітний потік Ф проходить по магнітопроводу. Він постійний як у феромагнітному матеріалі, так і в повітряному зазорі. Площа повітряного зазору рівна площі перетину феромагнітного матеріалу . Тому і магнітна індукція В = Ф/s також постійна. Проте напруженість магнітного поля Н у феромагнітному матеріалі і повітряному зазорі різна. Тому такий ланцюг називається неоднорідним

Прикладами розгалужених магнітних ланцюгів можуть служити ланцюги електричних машин, трансформаторів, поляризованих реле.

Аналіз магнітних ланцюгів постійного струму.

Суть аналізу зводиться до визначення основних параметрів магнітних ланцюгів: Н, Ф, В, I, S. При цьому користуються поняттями магніторушійної сили, закону повного струму, магнітної напруги   і магнітного опору 

Якщо по обмотці, що намагнічує, протікає струм I, то магніторушійною силою обмотки F називають добуток величини струму на число витків:

Форм. 7

Зв'язок між магніторушійною силою F і напруженістю магнітного поля H встановлює закон повного струму:

Форм. 8

При аналізі магнітних ланцюгів користуються значенням середньої лінії магнітопроводу, тому

Форм. 9

Добуток

Форм. 10

називають магнітною напругою ділянки ланцюга довжиною ав.

Якщо магнітний ланцюг містить дві неоднорідні ділянки завдовжки   i   то

Форм. 11

або

Форм. 12

Таким чином алгебраїчна сума магнітної напруги на ділянках ланцюга рівна магніторушійній силі обмотки. Виразом (12) відтворюється другий закон Кирхгофа для магнітного ланцюга.

Аналогічно першого закону Кирхгофа існує теорема Гауса: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню рівний нулю:

Форм. 13

Розглянемо вираз для магнітної напруги

Форм. 14

Позначимо вираз

Форм. 15

R_M - називається магнітним опором.

Тоді

Форм. 16

Рівняння (16) є законом Ома для магнітного ланцюга.

Якщо основною характеристикою електричного ланцюга є вольт-амперна характеристика, то для магнітного ланцюга - це ампер - веберна характеристика – тобто залежність між магнітним потоком і струмом, що намагнічує  (рис.8).

Рис. 8

На рис. 8.6 -

Ф_ФМ - потік в феромагнітному матеріалі; Ф_В - потік у повітряному зазорі;   - результуючий потік.

На практиці використовується залежність   оскільки H пропорційна струму, що намагнічує, I, а B пропорційна магнітному потоку Ф.

Особливості фізичних процесів в магнітних ланцюгах змінного струму

При аналізі магнітних ланцюгів змінного струму вводять наступні допущення:

1) магнітне поле розсіяння відсутнє;

2) активний опір обмотки рівний нулю.

При таких допущеннях можна записати

Форм. 17

де

Форм. 18

Звідси витікає, що магнітний потік в магнітопроводі змінний і визначається напругою (дією)

Форм. 19

Форм. 20

Таким чином, закон зміни магнітного потоку Ф(t) не залежить від параметрів ланцюга. Це перша особливість магнітних ланцюгів змінного струму.

Щоб визначити другу особливість звернемося до відомого виразу

Форм. 21

З нього виходить, що

Форм. 22

Але для простого магнітного ланцюга справедливі рівняння:

Форм. 23

Форм. 24

Змінні В(t) і Н(t) зв'язані за законом динамічної петлі гістерезису. Цей зв'язок нелінійний. Тобто залежність (22) теж нелінійна, а індуктивність   змінна.

Це друга особливість.

Індуктивність обмотки магнітопроводу непостійна і залежить від струму ланцюга, а рівняння   нелінійно.

Звідси третя особливість: магнітні ланцюги є нелінійними ланцюгами, тому при синусоїдальній напрузі на обмотці струм в ній опиняється не синусоїдальним.

Зміна магнітного потоку Ф(t) з частотою   приводить до нагріву магнітопроводу із-за гістерезису. Отже, в магнітопроводі виникають втрати електроенергії. Їх називають магнітними втратами. Це четверта особливість.

Закон повного току

На рис. 9 показаний провідник із струмом I, пронизливий поверхню, обмежену замкнутим контуром у вигляді кола. Хай центр кола лежить на осі провідника. У просторі, що оточує провідник із струмом, виникає магнітне поле. Оскільки окремі точки контуру знаходяться від провідника на рівних відстанях, то напруженість поля, створена струмом в кожній точці контуру, буде також однаковою.

Напрям вектора напруженості поля R залежить від напряму струму в провіднику і визначається за «правилом буравчика» . ВекторH розташовується по дотичній до кола контуру.

Шляхом дослідів і розрахунків встановлено, що добуток напруженості поля Н в точках контуру на довжину цього контуру L рівний струму I, що пронизує поверхню, обмежену даним контуром.

Рис. 9 Ілюстрація до закону повного току

Таким чином

Форм. 25

У загальному випадку поверхню можуть пронизувати декілька струмів. Тоді визначають так званий повний струм, тобто знаходять алгебраїчну суму струмів 

Для цього випадку можна записати:

Форм. 26

Цей вираз носить назва закону повного струму Закон повного струму є основним законом при розрахунку магнітних ланцюгів і дає можливість в деяких випадках легко визначити напруженість поля.

Наприклад, застосувавши закон повного струму для визначення напруженості магнітного поля в точці на відстані r від нескінченно довгого прямолінійного провідника із струмом (рис. 9), маємо наступне:

повний струм дорівнює струму в провіднику   ; контур, проведений на відстані r від провідника, співпадає з магнітною лінією; довжина контуру L буде L=2рr, тому   , звідки

Форм. 27

Переходячи до магнітної індукції, матимемо   , тобто ми отримали той же вираз для магнітної індукції, який було приведено вище для такого ж випадку. Застосуємо закон повного струму для визначення напруженості поля по осі котушки, рівномірно намотаної на кільце (рис. 10). контуром тут є вісь котушки (вона ж вісь кільця).

Рис. 10 До визначення напруженості поля котушки, що намотана на кільце

Площу контуру пронизує повний струм, рівний добутку струму I на число витків W котушки, тобто 

Позначивши довжину осі котушки через L, запишемо закон повного струму:

Форм. 28

звідки

Форм. 29

або, переходячи до магнітної індукції, матимемо

Форм. 30

Якщо перетин кільцевої котушки позначити S, то магнітний потік, що проходить усередині котушки, буде

Форм. 31

Розрізавши кільце і випрямивши котушку, ми отримаємо соленоїд.

Для соленоїда нескінченно великої довжини формули для напруженості поля R по осі соленоїда, магнітній індукції В і магнітного потоку Ф ті ж, що і для кільцевої котушки. Проте на практиці, маючи справу з соленоїдами обмеженої довжини, для визначення R, В і Ф користуються тими ж формулами.

Котушка індуктивності в ланцюзі змінного струму.

Розглянемо ланцюг, що містить в собі котушку індуктивності, і припустимо, що активний опір ланцюгу, включаючи дріт котушки, настільки мало, що їм можна нехтувати. В цьому випадку підключення котушки до джерела постійного струму викликало б його коротке замикання, при якому, як відомо, сила струму в ланцюзі виявилася б дуже великою.

Тобто права, коли котушка приєднана до джерела змінного струму. Короткого замикання в цьому випадку не відбувається. Це говорить про те. що котушка індуктивності чинить опір змінному струму, що проходить по ній.

Який характер цього опору і чим він обумовлюється ?

Щоб відповісти мул це питання, пригадаємо самоіндукції. Всяка зміна струму в котушці викликає появу в ній е р с самоіндукції, що перешкоджає зміні струму. Величина е р с самоіндукції прямо пропорційна величині індуктивності котушки і швидкості зміни струму в ній.

Але оскільки змінний струм безперервно змінюється, то безперервно виникаюча в котушці е р с самоіндукції створює опір змінному струму.

Для з'ясування процесів, що відбуваються в цепи змінного струму з котушкою індуктивності, звернемося до графіка. На рис. 11 побудовані графіки, що характеризують відповідно струм в ланцюзі, напругу на котушці та е р с самоіндукції, що виникає в ній.

Переконаємося в правильності проведених на рисунку побудов.

Рис. 11 Ланцюг змінного струму з котушкою індуктивності

З моменту t = 0, тобто з початкового моменту спостереження за струмом, він почав швидко зростати, але у міру наближення до свого максимального значення швидкість наростання струму зменшувалася. В мить, коли струм досяг максимальної величини, швидкість його зміни на мить стала рівною нулю, тобто припинилася зміна струму. Потім струм почав спочатку поволі, а потім швидко убувати і після закінчення другої чверті періоду зменшився до нуля. Швидкість же зміни струму за цю чверть періоду, зростаючи від куля, досягла найбільшої величини тоді, коли струм стане рівним нулю.

З побудов на рис. 12 видно, що під час переходу кривій струму через вісь часу збільшення струму за невеликий відрізок часу tбільше, ніж за цей же відрізок часу, коли крива струму досягає своєї вершини.

Рис. 12 Характер змін струму в часі залежно від величини струму

Отже, швидкість зміни струму зменшується у міру збільшення струму і збільшується у міру його зменшення, незалежно від напряму струму в ланцюзі.

Очевидно, і е р с самоіндукції в котушці повинна бути найбільшою тоді, коли швидкість зміни струму найбільша, і зменшуватися до нуля, коли припиняється його зміна.

Дійсно, на графіці крива е р с самоіндукції - e_L за першу чверть періоду, починаючи від максимального значення, впала до нуля (рис. 11).

Впродовж наступної чверті періоду струм від максимального значення зменшувався до нуля, проте швидкість його зміни поступово зростала і була найбільшою в мить, коли струм став рівним нулю. Відповідно і е р с самоіндукції за час цієї чверті періоду, з'явившись знов в котушці, поступово зростала і виявилася максимальною до моменту, коли струм став рівним нулю.

Проте свій напрям е р с самоіндукції змінила на зворотній, оскільки зростання струму в першій чверті періоду змінилося його убуванням в другій чверті.

Продовживши далі побудову кривої е р с самоіндукції, ми переконуємося в тому, що за період зміни струму в котушці та е р с самоіндукції зробить в ній повний період своєї зміни.

Напрям її визначається законом Ленца:

при зростанні струму е р с самоіндукції буде направлена проти струму (перша і третя чверті періоду), а при убуванні струму, навпаки, співпадати з ним по напряму (друга і четверта чверті періоду).

Таким чином, е р с самоіндукції, що викликається самим змінним струмом, перешкоджає його зростанню і, навпаки, підтримує його при убуванні.

Звернемося тепер до графіка напруги на котушці (рис. 11). На цьому графіку синусоїда напруги на затисках котушки зображена рівній і протилежній синусоїді е р с самоіндукції. Отже, напруга на затисках котушки у будь-який момент часу рівна і протилежнае р с самоіндукції, що виникає в ній. Напруга ця створюється генератором змінного струму і йде на те, щоб погасити дію в ланцюзіе р с самоіндукції.

Індуктивний опір позначається через X_L і вимірюється, як і активний опір, в омах.

Індуктивний опір ланцюгу тим більше, чим більше частота джерела струму, що живить ланцюг, і чим більше індуктивність ланцюга. Отже, індуктивний опір ланцюгу прямо пропорціональний частоті струму і індуктивності ланцюга; визначається він по формулі

Форм. 32

де   — кругова частота, визначувана добутком   .

L — індуктивність ланцюга в гн.

Закон Ома для ланцюга змінного струму, що містить індуктивний опір, звучить так:

величина струму прямо пропорційна напрузі і обернено пропорційна індуктивному опору ланцюгу,

тобто

Форм. 33

Де

I і U — значення струму і напруги, що діють, а X_L — індуктивний опір ланцюгу.

Розглядаючи графіки зміни струму в котушці, ми звернули увагу на те, що зміна е р с самоіндукції і напруги на її затисках не співпадає за часом. Інакше кажучи, синусоїди струму, напруги та е р с самоіндукції виявилися для ланцюга, що розглядався нами, зміщеними за часом одне до одного. У техніці змінних струмів таке явище прийнято називати зміщенням фаз.

Якщо ж дві змінні величини змінюються поодинці і тому ж закону (у нашому випадку по синусоїдальному) з однаковими періодами, одночасно досягають свого максимального значення як в прямому, так і у зворотному напрямі, а також одночасно зменшуються до нуля, то такі змінні величини мають однакові фази або, як то кажуть, співпадають по фазі.

Як приклад на рис. 13 приведені співпадаючі по фазі криві зміни струму і напруги. Такий збіг фаз ми завжди спостерігаємо в ланцюзі змінного струму, що складається тільки з активного опору.

Рис. 13 Збіг по фазі струму і напруги в ланцюзі з активним опором

У тому випадку, коли ланцюг містить індуктивний опір, фази струму і напруги, як це видно з рис. 11 не співпадають, тобто є зміщення фаз між цими змінними величинами. Крива струму в цьому випадку як би відстає від кривій напруги на чверть періоду.

Отже, при включенні котушки індуктивності в ланцюг змінного струму в ланцюзі з'являється зміщення фаз між струмом і напругою, причому струм відстає по фазі від напруги на чверть періоду.

Це означає, що максимум струму наступає через чверть періоду після того, як наступив максимум напруги.

Е р с самоіндукції знаходиться в протилежній фазі з напругою на котушці, відстаючи, у свою чергу, від струму на чверть періоду. При цьому період зміни струму, напруги, а також е р с самоіндукції не міняється і залишається рівним періоду зміни напруги генератора, що живить ланцюг. Зберігається також і синусоїдальний характер зміни цих величин.

З'ясуємо тепер, яке відмінність навантаження генератора змінного струму активним опором від навантаження його індуктивним опором.

Коли ланцюг змінного струму містить в собі лише один активний опір, то енергія джерела струму поглинається в активному опорі, нагріваючи провідник.

Коли ж ланцюг не містить активного опору (ми умовно вважаємо його рівними нулю), а складається лише з індуктивного опору котушки, енергія джерела струму витрачається не на нагрів проводів, а тільки на створення е р с самоіндукції, тобто вона перетворюється на енергію магнітного поля.

Проте змінний струм безперервно змінюється як по величині, так і по напряму, а отже, і магнітне поле котушки безперервно змінюється в такт із зміною струму. У першу чверть періоду, коли струм зростає, ланцюг отримує енергію від джерела струму і запасає її в магнітному полі котушки. Але як тільки струм, досягнувши свого максимуму, починає убувати, він підтримується за рахунок енергії, запасеної в магнітному полі котушки за допомогою е р с самоіндукції.

Таким чином, джерело струму, віддавши протягом першої чверті періоду частину своєї енергії в ланцюг, протягом другої чверті отримує її назад від котушки, що виконує при цьому роль своєрідного джерела струму.

Інакше кажучи, ланцюг змінного струму, що містить тільки індуктивний опір, не споживає енергії: в даному випадку відбувається коливання енергії між джерелом і ланцюгом. Активний же опір, навпаки, поглинає в собі всю енергію, повідомлену йому джерелом струму.

Говорять, що котушка індуктивності, в протилежність омічному опору, не активна по відношенню до джерела змінного струму, тобто реактивна. Тому індуктивний опір котушки називають також реактивним опором.

Загальні відомості про трансформатори.

Трансформатором називається статичний електромагнітний апарат, призначений для перетворення енергії змінного струму однієї напруги в енергію змінного струму іншої напруги.

Трансформатор (рис. 14), як правило, складається із сталевого сердечника, що є магнітопроводом, і двох обмоток, яки не мають електричного зв'язку між собою. Та з обмоток трансформатора, до якої підводиться енергія змінного струму, називаєтьсяпервинною обмоткою, інша, від якої енергія відводиться, — вторинною обмоткою.

Всі величини, що відносяться до первинної обмотки (напруга, струм, потужність тощо), називаються первинними, а що відносяться до вторинної — вторинними. Якщо вторинна напруга менше первинного, то трансформатор називається таким, що знижує, якщо більше, то таким що підвищує. Відповідно до цього розрізняють обмотки вищої і нижчої напруги.

Рис. 14 Схема передавання електроенергії за допомогою трансформаторів

По типу змінного струму трансформатори розділяються на однофазні, трифазні і багатофазні. По числу обмоток трансформатори бувають двома обмотками та з багатьма обмотками, а також трансформатори з відгалуженнями, тобто трансформатори, обмотки яких мають спеціальні відгалуження.

Розрізняють також масляні та сухі трансформатори. Перші з метою оберігання ізоляції від шкідливого впливу повітря і поліпшення умов їх охолоджування занурюють в бак з трансформаторним маслом, а другі не занурені в масло.

За призначенням всі трансформатори, вживані в техніці, можна розділити на три основні групи:

1) силові трансформатори,

2) автотрансформатори

3) спеціальні трансформатори.

За допомогою трансформаторів одну і ту ж потужність можна передавати при різній напрузі і різному струмі, що виходить з формул потужності для однофазного і трифазного струмів:

Форм. 34

Трансформатори дозволяють передавати великі потужності на значні відстані по лінії високої напруги. На рис. 14 показана проста схема використання трансформаторів в лініях передач: від синхронного генератора через трансформатор, що підвищує, по лінії високої напруги і далі через знижувальний трансформатор до приймачів струму.

Принцип роботи трансформатора.

Дія трансформатора заснована на явищі взаємної індукції. Дійсно, якщо первинну обмотку трансформатора підключити до мережі змінного струму з напругою U₁ (рис. 15), то струм, що проходить по ній, створить в сердечнику змінний магнітний потік Ф. Під впливом цього потоку у обох обмотках трансформатора буде проходити індукція е р с . Якщо при цьому вторинна обмотка буде замкнута, то по ній тектиме змінний струм І₂. Таким шляхом і здійснюється передача енергії з первинної обмотки у вторинну, а отже, і перетворення енергії змінного струму однієї напруги в енергію змінного струму іншої напруги.

Рис. 15 Схема роботи трансформатора

З схеми видно, що кожен виток первинної і вторинної обмоток пронизується одним і тим же магнітним потоком Ф, завдяки чому у витках виникає індукція однакових е р с . Величина каждой такой е р с пропорційна магнитному потоку трансформатора Ф и частоте его изменений, которая численно равна частоте переменного тока f.

Оскільки витки обмоток сполучені послідовно між собою, то величини індукованих в первинній і вторинній обмотках э. д. с. будуть пропорційні магнітному потоку Ф, частоті струму fi числу витків обмоток, тобто

Форм. 35

де с — коефіцієнт пропорційності; W₁ — число витків первинної обмотки; W₂ — число витків вторинної обмотки.

Узявши відношення е р с . первинної обмотки Е₁ до е р с вторинної обмотки Е₂, отримаємо

Форм. 36

тобто відношення е р с , що наводяться в обмотках, рівно відношенню чисел їх витків.

Нехтуючи невеликим падінням напруги в первинній обмотці, можна вважати, що напруга U₁ приблизно рівна е р с Е₁. Те ж саме і у вторинній обмотці, тобто напруга на її затисках приблизно рівна е р с , що наводиться в ній Е₂. Тому відношення напруги на затисках обмоток трансформатора приблизно рівне відношенню е р с , що наводяться в них:

Форм. 37

Це відношення позначається буквою K, та називається коефіцієнтом трансформації, який показує, в скільки разів напруга первинної обмотки більше або менше напруги вторинної. Якщо коефіцієнт трансформації більше одиниці, то трансформатор підвищує, і, навпаки трансформатор знижує, якщо його коефіцієнт менше одиниці.

Співвідношення між струмами в первинній і вторинній обмотках легко знайти із закону збереження енергії, вважаючи, що енергія, споживана первинною обмоткою з мережі, рівна енергії вторинного ланцюга трансформатора, тобто

Форм. 38

З цього

Форм. 39

Замінивши відношення   його значенням з рівняння (37, знайдемо

Форм. 40

Таким чином, струми в обмотках трансформатора обернено пропорційні напрузі на затисках цих обмоток, а також числам витків цих обмоток, тобто трансформатор є електричним редуктором, який дозволяє при заданій потужності шляхом підвищення напруги зменшувати величину струму і навпаки.

Режими роботи трансформатора.

Трансформатор так само, як і синхронний генератор, може працювати в трьох основних режимах: у режимі холостого ходу, під навантаженням і в режимі раптового короткого замикання. Останній режим роботи трансформатора, коли вторинна обмотка замикається накоротко, як правило, супроводжується великими кидками струму, які можуть викликати аварію трансформатора.

Холостий хід трансформатора

Холостим ходом трансформатора називається такий режим його роботи, коли на первинну обмотку подана напруга і по ній проходить струм /0 (мал. 14,3), а вторинна обмотка розімкнена і, отже, вторинний струм рівний нулю. Струм же, що протікає в цьому випадку по первинній обмотці, називається струмом холостого ходу.

Рис. 16 Схема холостого ходу трансформатора

Струм холостого ходу, проходячи по первинній обмотці, створює основний магнітний потік трансформатора ф. який замикається в сердечнику і охоплює обидві обмотки трансформатора, а також потік розсіяння Фс1, який замикається через повітря і охоплює тільки первинну обмотку. Основний магнітний потік індукує в первинній обмотці е р с Е₁, а у вторинній — е р с Е₂.

Потік розсіяння, що становить звичайні декілька відсотків від основного потоку, індукує в первинній обмотці е р с розсіяння і тим самим обумовлює індуктивний опір первинної обмотки. Крім того, первинна обмотка володіє активним опором г₁, на подолання якого витрачається частина прикладеної напруги.

Таким чином, на підставі закону рівноваги е р с можна сказати, що напруга, прикладена до первинної обмотки трансформатора, у будь-який момент часу врівноважує е р с E₁, активне І₀r₁ і індуктивне І₀x₁ падіння напруги.

Оскільки всі ці величини є геометричною сумою прикладеної напруги, то математично цю суму можна записати так:

Форм. 41

де E₁ — е р с самоіндукції, протидіюча прикладеній напрузі U₁ і звана тому зворотною або протиелектрорушійною силою.

На підставі цього рівняння, що є рівнянням рівноваги е р с , побудуємо векторну діаграму холостого ходу трансформатора.

Для цього відкладемо по горизонталі вектор магнітного потоку Ф (рис. 17), а від нього у бік випередження на кут а — вектор струму I₀ - Це відставання викликається наявністю втрат в сердечнику трансформатора Вектори е р с Е₁ і Е₂ слід побудувати під кутом 90° у бік відставання від вектора Ф, оскільки всяка е р с , індукована змінним потоком, відстає в своїх змінах від потоку на чверть періоду.

Вектор І₀r₁ буде у фазі із струмом І<sub0< sub=""></sub0<>, а вектор І₀х₁ випереджатиме на 90° вектор струму. Вектор напруги U₁ буде геометричною сумою Е₁ і векторів падіння напруги. Напруга на затисках вторинної обмотки рівно її е р с , тобто U₂ = Е₂ оскільки при холостому ході у вторинній обмотці немає струму.

Рис. 17 Схема холостого ходу трансформатора

З діаграми видно, що струм холостого ходу І₀ відстає від напруги, прикладеної до первинної обмотки трансформатора, на кут, близький до 90°, тобто він є практично реактивним струмом.

Таким чином, трансформатор при холостому ході для мережі є реактивним навантаженням. Струм І₀, що йде тільки на створення магнітного потоку Ф, і називається струмом, що намагнічує трансформатор

Робота трансформатора під навантаженням.

При роботі однофазного трансформатора на деяке навантаження (рис. 18, а) у вторинній обмотці проходить струм І₂.

Рис. 18 Робота трансформатора під навантаженням  а – схема роботи; б – зовнішні характеристики

Цей струм створює в сердечнику трансформатора магнітний потік Ф₂, направлений згідно закону Ленца назустріч основному магнітному потоку Ф₁ і, таким чином, розмагнічує сердечник. В результаті цього е р с Е₁ зменшується. Але в трансформаторі завжди повинна зберігатися умова електричної рівноваги, тобто

Форм. 42

Оскільки напруга U₁ мережі, до якої підключена первинна обмотка трансформатора, завжди підтримується постійною, величина е р с Е₁ повинна зберігати постійне значення.

Проте е р с Е₁ через розмагнічуючу дію потоку Фг зменшується і це зменшення порушує рівновага між нею і напругою U₁. Внаслідок цього зростає струм первинної обмотки І₁, а отже, і магнітний потік Ф₁. завдяки чому компенсується дія потоку Ф₂, що розмагнічується.

Таким чином, при збільшенні навантаження трансформатора, тобто при збільшенні струму І₂ у вторинній обмотці, автоматично збільшуватиметься струм І₁ в первинній обмотці, а отже, збільшуватиметься і потужність, споживана з мережі.

Співвідношення між струмами в первинній і вторинній обмотках, як вище вже наголошувалося, виражається формулою

Форм. 43

де k — коефіцієнт трансформації.

При зміні навантаження трансформатора від нуля до номінального, падіння напруги в його обмотках збільшується а напруга на затисках вторинної обмотки зменшується. Це зменшення напруги в сучасних трансформаторах складає 2—3% номінальної напруги.

На рис. 18 б приведені зовнішні характеристики трансформатора, що є графіками залежності напруги U₂ від струму навантаженняІ₂ при незмінній напрузі на затисках первинної обмотки. Один графік дано для випадку активного навантаження   а інший — для сумісного навантаження активно-індуктивного 

Потужність та коефіцієнт корисної дії трансформатора (ККД)

Потужність, що підводиться до первинної обмотки трансформатора, називається первинною потужністю і визначається по формулі

Форм. 44

Потужність, що отримується на затисках вторинної обмотки трансформатора, називається вторинною потужністю і визначається по формулі

Форм. 45

Потужність Р₁, завжди дещо більше потужності Р₂ на величину втрат потужності в трансформаторі. Ці втрати складаються з втрат на нагрівання обмоток і втрат в сталі сердечника на гістерезис і вихрові струми. Втрати на нагрівання обмоток залежать від навантаження трансформатора і збільшуються із зростанням навантаження. Втрати в сталі не залежать від навантаження і тому є постійними.

Відношення вторинною, або корисною, потужності трансформатора до первинної, або споживаною, потужності називається коефіцієнтом корисної дії трансформатора, тобто

Форм. 46

Втрати в трансформаторах відносно малі, тому їх к. к. д. достатньо високий. Так, наприклад, к. к. д. трансформаторів малої потужності складає 92—93%, а трансформаторів великої потужності — 98—99%.

Виникнення перехідних процесів в лінійних електричних колах, перехідний, вимушений та вільний режими.

Загальні відомості про перехідні процеси

Під перехідним (динамічним, нестаціонарним) процесом або режимом в електричних ланцюгах розуміється процес переходу ланцюга з одного сталого стану (режиму) в інше. При сталих, або стаціонарних, режимах в ланцюгах постійного струму напруги і струми незмінні в часі, а в ланцюгах змінного струму вони є періодичними функціями часу. Сталі режими при заданих і незмінних параметрах ланцюга повністю визначаються тільки джерелом енергії. Отже, джерела постійної напруги (або струму) створюють в ланцюзі постійний струм, а джерела змінної напруги (або струму) – змінний струм тієї ж частоти, що і частота джерела енергії.

Перехідні процеси виникають при будь-яких змінах режиму електричному ланцюгу: при підключенні і відключенні ланцюга, при зміні навантаження, при виникненні аварійних режимів (коротке замикання, обрив дроту і так далі). Зміни в електричному ланцюзі можна представити у вигляді тих або інших перемикань, званих в загальному випадку комутацією. Фізично перехідними процесами є процеси переходу від енергетичного стану, відповідного до комутаційного режиму, до енергетичного стану, відповідного після комутаційному режиму.

Перехідні процеси зазвичай швидко протікають: тривалість їх складає десяті, соті, а іноді і мільярдні долі секунди. Порівняно рідко тривалість перехідних процесів досягає секунд і десятків секунд. Проте, вивчення перехідних процесів вельми важливе, оскільки дозволяє встановити, як деформується формою і амплітуді сигнал, виявити перевищення напруги на окремих ділянках ланцюга. Крім того, встановити збільшення амплітуд струмів, які можуть в десятки разів перевищувати амплітуду струму сталого періодичного процесу, а також визначати тривалість перехідного процесу.

Причини виникнення перехідних процесів.

У загальному випадку в електричному ланцюзі перехідні процеси можуть виникати, якщо в ланцюзі є індуктивні і ємкісні елементи, що володіють здатністю накопичувати або віддавати енергію магнітного або електричного поля. У момент комутації, коли починається перехідний процес, відбувається перерозподіл енергії між індуктивними, ємкісними елементами ланцюга і зовнішніми джерелами енергії, підключеними до ланцюга. При цьому частина енергія безповоротно перетвориться в інші види енергій (наприклад, в теплову на активному опорі).

Після закінчення перехідного процесу встановлюється новий сталий режим, який визначається тільки зовнішніми джерелами енергії. При відключенні зовнішніх джерел енергії перехідний процес може виникати за рахунок енергії електромагнітного поля, накопиченої до початку перехідного режиму в індуктивних і ємкісних елементах ланцюга.

Зміни енергії магнітного і електричного полів не можуть відбуватися миттєво, і, отже, не можуть миттєво протікати процеси у момент комутації. Насправді, стрибкоподібна (миттєве) зміна енергії в індуктивному і ємкісному елементі приводить до необхідності мати нескінченно великі потужності

Форм. 1

що практично неможливе, бо в реальних електричних ланцюгах нескінченно великої потужності не існує.

Таким чином, перехідні процеси не можуть протікати миттєво, оскільки неможливо в принципі миттєво змінювати енергію, накопичену в електромагнітному полі ланцюга. Теоретично перехідні процеси закінчуються за час 

Практично ж перехідні процеси є быстропротекающими, і їх тривалість зазвичай складає долі секунди. Оскільки енергія магнітногоW_М і електричного полів W_Е описується виразами

Форм. 2

Форм. 3

то струм у індуктивності і напруга на ємкості не можуть змінюватися миттєво. На цьому засновані закони комутації.

Закони комутації.

Перший закон комутації полягає в тому, що струм в гілці з індуктивним елементом в початковий момент часу після комутації має те ж значення, яке він мав безпосередньо перед комутацією, а потім з цього значення він починає плавно змінюватися. Сказане зазвичай записують у вигляді i_L(0-) = i_L(0+), вважаючи, що комутація відбувається миттєво у момент t = 0.

Другий закон комутації полягає в тому, що напруга на ємкісному елементі в початковий момент після комутації має те ж значення, яке воно мало безпосередньо перед комутацією, а потім з цього значення воно починає плавно змінюватися:

Форм. 4

Отже, наявність гілки, що містить індуктивність, в ланцюзі, що включається під напругу, рівносильне розриву ланцюга в цьому місці у момент комутації, оскільки

Форм. 5

Наявність в ланцюзі, що включається під напругу, гілці, що містить розряджений конденсатор, рівносильне короткому замиканню в цьому місці у момент комутації, оскільки

Форм. 6

Проте в електричному ланцюзі можливі скачки напруги на индуктивностях і струмах на ємкостях.

У електричних ланцюгах з резистивними елементами енергія електромагнітного поля не запасається, унаслідок чого в них перехідні процеси не виникають, тобто в таких ланцюгах стаціонарні режими встановлюються миттєво, стрибком.

Насправді будь-який елемент ланцюга володіє якимсь опором r, індуктивністю L і ємністю С, тобто в реальних електротехнічних пристроях існують теплові втрати, обумовлені проходженням струму і наявністю опору r, а також магнітні і електричні поля.

Перехідні процеси в реальних електротехнічних пристроях можна прискорювати або уповільнювати шляхом підбору відповідних параметрів елементів ланцюгів, а також за рахунок застосування спеціальних пристроїв.

Математичні основи аналізу перехідних процесів

Загальні підходи

Завдання дослідження перехідних процесів полягає в тому, щоб з'ясувати, по якому закону і як довго спостерігатиметься помітне відхилення струмів в гілках і напруги на ділянках ланцюга від їх сталих значень.

Так, наприклад, якщо в досліджуваній гілці деякого ланцюга до комутації існував постійний струм I₁, а в сталому режимі після комутації він став I₂, то нас цікавитиме закон зміни перехідного струму i між моментом комутації (t=0) і тим невідомим нам моментом часу t₁, коли перехідний процес можна вважати таким, що закінчився.

При аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах вважається, що:

1. рубильники вмикаються і розмикаються миттєво, без виникнення електричної дуги;

2. час перехідного процесу, теоретично нескінченно тривалий, (асимптотичний режим перехідного процесу наближається до нового сталого режиму), обмежують умовною межею – тривалістю перехідного процесу;

3. сталий режим після комутації розраховують за теоретичної умови   , тобто коли після комутації пройшов нескінченно великий час.

Сталий режим до комутації розраховують зазвичай в припущенні, що до моменту комутації в ланцюзі закінчився попередній перехідний процес. Хоча іноді доводиться аналізувати перехідні процеси, що виникають в ланцюзі, коли попередній перехідний процес, викликаний колишніми комутаціями, ще не закінчився.

Аналіз перехідних процесів проводять шляхом вирішення диференціальних рівнянь, складених для досліджуваного електричного ланцюга на основі законів Кирхгофа або методу контурних струмів.

а, б, в  Рис. 1

Хай в деякому ланцюзі (Рис. 1 а) раптово змінюється опір. До комутації в ланцюзі існували опори R₀ і R, після комутації залишається тільки R. Потрібно визначити перехідний струм i. Електричний стан схеми після комутації описується інтегрально - диференційним рівнянням, записаним на підставі II закону Кирхгофа для миттєвих значень струмів і напруги:

Форм. 7

Якщо це рівняння про диференціювати за часом отримаємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку, у якого як постійні коефіцієнти виступають параметри ланцюга або їх комбінації:

Форм. 8

З математики відомо, що повне вирішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами знаходять у вигляді суми приватного вирішення неоднорідного і загального вирішення відповідного однорідного рівняння.

Оскільки в правій частині диференціальних рівнянь, що описують електричний стан ланцюгів, зазвичай знаходиться напруга (або струм) джерела (зовнішня сила, що вимушує), то приватне рішення знаходять з аналізу сталого режиму після комутації. Звідси цей режим називають примушеним і відповідно струми або напруга, знайдені в даному режимі, називають вимушеними. Розрахунок примушеного режиму, коли зовнішні джерела виробляють постійну або синусоїдальну е р с (струм), не представляє труднощів і може бути здійснений будь-яким відомим методом.

Однорідне диференціальне рівняння отримують з виразу (8) шляхом "звільнення" його від правої частини. Фізично це означає, що досліджуваний ланцюг "звільняється" від зовнішньої сили, що діє. Струми або напруга, знайдені при вирішенні однорідного диференціального рівняння, називаються вільними. Вільні струми і напруга є результатом дії внутрішніх джерел схеми: е р с самоіндукції, що виникають в котушках, і напруги на конденсаторах, коли і ті, та інші не урівноважені зовнішніми джерелами.

Схематично аналіз перехідного процесу може бути представлений як результат накладення двох режимів: примушеного і вільного. Схема на рис. 1 б би повинна бути розрахована в сталому (примушеному) режимі, а схема на рис. 1 в — в режимі, коли ланцюг звільнений від зовнішніх джерел.

Дійсний (перехідний) струм відповідно до принципу суперпозиції рівний сумі сталого (вимушеного) і вільного струмів:

Форм. 9

Відмітимо, що фізично існує тільки перехідні струми і напруга, а розкладання їх на вільні і примушені складові є математичним прийомом, що дозволяє спростити розрахунок перехідних процесів в лінійних ланцюгах. Нагадаємо, що принцип суперпозиції застосовний лише до лінійних ланцюгів.

Існують різні методи вирішення однорідного диференціального рівняння, отриманого з виразу (8):

Форм. 10

Класичний метод аналізу перехідних процесів полягає в безпосередній інтеграції диференціальних рівнянь. Рішення знаходять у вигляді суми експонент:

Форм. 11

де число доданків рівне порядку диференціального рівняння.

Після підстановки експонент

Форм. 12

у початкове рівняння (10) і диференціювання можна отримати характеристичне рівняння, з якого визначають коріння p₁, p₂. Якщо зустрічається кратне коріння (наприклад, p₁ = p₂ = P), рішення має вигляд

Форм. 13

Постійні інтегрування A₁, A₂ знаходять з початкових умов, які визначають за допомогою законів комутації. Розрізняють незалежні і залежні (після комутаційні) початкові умови. До перших відносять значення струмів через індуктивності і значення напруги на ємкостях, відомі з до комутаційного режиму роботи ланцюга.

Значення решти струмів і напруги при t = 0 у після комутаційній схемі, які визначаються по незалежних початкових значеннях із законів Кирхгофа для схеми після комутації, називають залежними початковими значеннями.

Класичний метод аналізу застосовують зазвичай для аналізу процесів в нескладних електричних ланцюгах.