3. Вираз потужності в комплексній формі
Широке застосування комплексного представлення струму і напруги в процесі аналізу електричних ланцюгів припускає знайти комплексне уявлення для активної, реактивної і повної потужності. На перший погляд це завдання не повинне викликати утруднень. Достатньо у вираз для потужності підставити комплексний струм і напругу. Подивимося чи так це?
Наприклад,
задані комплексні струм 
і
напруга 
Форм.
87
Права частина отриманого виразу повинна визначати активну (дійсну частину) і реактивну (уявна частина) потужності. Але складові правої частини не відповідають виразам (75) і (80), оскільки в них зміщення фаз визначається різницею
Форм.
88
Щоб
усунути таку невідповідність користуються
штучним прийомом. Під комплексним
зображенням повної потужності
розуміють добуток
комплексної напруги на комплексно-зв'язаний
струм.
Нагадаємо, що два комплексні
числа 
та 
називаються
взаємно зв'язаними, якщо їх дійсні
частини рівні, а уявні відрізняються
тільки знаками:
Форм.
89
Форм.
90
При такому визначенні комплексна потужність ланцюга визначиться виразом
Форм.
91
тобто
Форм.
92
Знак «тильда» означає комплекс повної потужності, складений за участю зв'язаного комплексу струму. Дійсна частина комплексної потужності є повна потужність, а уявна частина - реактивна потужність.
Модуль комплексного уявлення - повна потужність.
Розглянемо приклад.
У схемі рис. 15 задані
е
р с - 
та
параметри елементів: 
Знайти активну, реактивну та повну потужність ланцюга.
Рис.
15
Рішення
Комплексне значення діючого значення напруги на вході всієї схеми - рівний
Форм.
93
Комплексний опір ланцюгу
Форм.
94
Переходимо до показової форми комплексного опору. Для цього знаходимо модуль
Форм.
95
і фазу
Форм.
96
Звідси
Форм.
97
Комплексне значення діючого струму
Форм.
98
Зв'язаний комплекс струму
Форм.
99
Комплексне значення потужності
Форм.
100
Звідси:
Форм.
101
Послідовний коливальний контур. Pезонанс струмів
Ми вже знаємо, що алгебраїчна форма комплексного опору Z має дійсну R і уявну jX частині
Форм.
102
Значення дійсної і уявної частин визначаються складом і структурою схеми. Для схеми з послідовно включеними R, L, і С елементами реактивний опір визначається
Форм.
103
Очевидно,
що значення доданків залежить від
частоти 
.
При малих частотах ємкісна складова
має велике значення, а індуктивна - мале.
Тому реактивний опір схеми Х приймає
ємкісною характер. При великих частотах X
приймає
індуктивний характер. Існує така
частота 
при
якій
Форм.
104
При цій частоті реактивний опір рівний нулю, а комплексний опір ланцюгу стає активним. Такий режим виділяють особливо і називають резонансним.
При резонансному режимі роботи електричного ланцюга приймають режим, при якому її опір є чисто активним.
Розрізняють два різновиди резонансних режимів: резонанс струмів і резонанс напруги.
Pезонанс струмів
Резонанс струмів виникає в ланцюзі з паралельним включенням елементів (рис.16). Такий ланцюг містить два складні потенційні вузли, а всі елементи знаходяться під однією і тією ж напругою
Форм.
105
Рис.
16
Для будь-якого з вузлів - I або I’ справедливий перший закон Кирхгофа:
Форм.
106
Приведемо вираз 106 до вигляду
Форм.
107
Підставимо в (107) замість u(t) його значення з (105) і вирішимо його
Форм.
108
Векторна діаграма, побудована по (108) приведена на рис. 17.
Рис.
17
Як
початковий в ній прийнятий загальний
для всіх елементів ланцюга вектор
напруги 
.
З цим вектором співпадає по напряму
вектор струму через резистор. Його
величина рівна
Форм.
109
Вектор
струму через індуктивність 
відстає
від вектора напруги, а вектор струму
через ємність випереджає його на 90о.
Проведемо
послідовне додавання векторів 
Результатом
додавання буде вектор 
Він
зміщений по фазі відносно вектора 
на
кут 
Різниця
векторів 
дає
вектор реактивного струму 
Його
величина
Форм.
110
Вектори 
утворюють
трикутник струмів. Для цього трикутника
справедливі вирази
Форм.
111
Форм.
112
Трикутник
струмів наочно показує, що для досягнення
резонансу в ланцюзі необхідно забезпечити
рівність струмів у протилежних
фазах IL і IC .
Тоді результуючий реактивний струм
ланцюга і кут 
будуть
рівні нулю, а опір ланцюгу стане активним.
З виразу (110) видно що може бути рівне
нулю при дотриманні умови
Форм. 113
Звідси легко визначити:
- частоту на якій наступає резонанс (резонансну частоту) при заданих значеннях елементів L і C.
Форм.
114
- значення одного з елементів L або C, якщо задані резонансна частота і інший елемент
Форм.
115
Визначимо значення струму всього ланцюга і струмів, що протікають в її гілках в режимі резонансу.
Значення
струму всього ланцюга I0,
що діє на частоті 
легко
знайти по (111)
Форм.
116
Але це значення рівне струму, що протікає через активний опір ланцюгу IR тобто
Форм.
117
Струм, що протікає через елемент L визначимо за законом Ома
Форм.
118
Підставляючи в (118) замість U його значення з (116) отримаємо
Форм.
119
Аналогічно визначаємо вираз для струму через елемент
Форм.
120
Беручи до уваги (113) неважко зробити вивід про те, що струми протікають через індуктивний і ємкісною елементи рівні по величині, але протилежні по фазі. Величина Q рівна
Форм.
121
може бути більше одиниці, в спеціальних пристроях досягає декількох десятків і сотень одиниць і називається добротністю.
Ще раз підкреслимо чудову особливість ланцюга в режимі резонансу. Струми протікають в гілках реактивних елементів можуть приймати значення в десятки і сотні разів більше загального струму ланцюга. Тому резонанс ланцюга називають резонансом струмів.
Дуже важливо і те, що вони знаходяться у протилежних фазах. Саме це указує на те, що в ланцюзі відбувається коливальний процес з частотою по передачі електричній енергії конденсатора в магнітну енергію індуктивності і навпаки. Енергія джерела на цей процес не витрачається (при ідеальних L і С). Вона витрачається тільки на подолання опору резистора R. Тому ланцюг рис.16. називають паралельним коливальним контуром.
Щоб завершити аналіз ланцюга розглянемо залежність її струмів і напруги від частоти (рис. 18). Струм, що протікає через елемент R, - iR визначається законом Ома і не залежить від частоти. Струм через ємкість Іc згідно (120) знаходиться у прямій пропорційній залежності вид частоти, а струм через індуктивність ІL - знаходиться у зворотній пропорційній залежності.
Рис.
18
На
частоті 
вони
рівні по величині, але протилежні по
напряму. Загальний струм ланцюга
визначається сумою трьох струмів. Тому
він має велике значення на частотах,
дальніх від резонансної, але приймає
значення iR на
резонансній частоті. Фізично це означає
що на резонансній частоті провідність
ланцюга мінімальна (вона рівна провідності
тільки елементу R).
Тому падіння напруги між вузлами 1-1’ максимально на частоті і має вид резонансної прямої (рис. 19).
Рис.
19
Через ці якості паралельний коливальний контур широко застосовують в радіо і радіотехнічних пристроях для виділення сигналів на заданій частоті.