2. Базис системи векторів.

Розглянемо деяку множину векторів та деяку її підмножину .

Означення 3. Упорядковану множину векторів називають базисом множини , якщо дані вектори лінійно незалежні, а також будь-який вектор множини лінійно виражається через вектори множини .

Розглянемо окремі приклади.

У ролі множини візьмемо вектори, що паралельні деякій прямій. Довільний ненульовий вектор цієї множини утворює базис, оскільки будь-який вектор із лінійно виражається через вибраний вектор (теорема 4). Назвемо у цьому випадку множину векторів одновимірним векторним простором колінеарних векторів та позначимо .

Нехай – множина векторів, що паралельні деякій площині. Базис цієї множини утворюють два довільні не колінеарні вектори. Справді, дані вектори лінійно незалежні (теорема 4), а будь-який третій вектор даної множини через них виражається (теорема 5). Дану множину векторів назвемо двовимірним векторним простором компланарних векторів та позначатимемо .

Якщо у ролі множини взяти множину всіх геометричних векторів, то базис в ній утворять три довільні не компланарні вектори. Справді, ці вектори лінійно незалежні (теорема 5), а будь-який четвертий вектор через них лінійно виражається (теорема 6). Простір всіх геометричних векторів будемо позначати .

3. Координати вектора. Дії над векторами у координатній формі.

Розглянемо простір векторів та деякий його базис . Довільний вектор можна розкласти за цим базисом, тобто представити у вигляді

. (2)

Насамперед зауважимо, що таке представлення єдине. Справді, припустимо, що розклад вектора можливий із іншими коефіцієнтами, тобто нехай . Віднімаючи від даної рівності рівність (2), дістаємо . Оскільки вектори лінійно незалежні, то одержана рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Тому .

Означення 4. Коефіцієнти біля базисних векторів у рівності (1) називають координатами вектора відносно базису .

Координати вектора записують у вигляді або .

У випадку векторного простору та деякого його базису для довільного вектора його координати визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності . Зауважимо, що таке представлення теж єдине. Записують або .

Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.

Справді, у випадку векторного простору , з рівностей або , випливає , оскільки вектори та лінійно незалежні.

Аналогічні міркування реалізуються у випадку простору .

Розглянемо, як виконувати лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами. Нехай задані два вектори та . Тоді

,

тобто

.

Аналогічно доводяться рівності

та

,

де – довільний числовий множник.

Так само, як і в просторі , у просторі додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів.

Теорема 7. Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.

Доведення. Нехай задані два колінеарні вектори та . Тоді вони лінійно залежні та існує число таке, що виконується рівність . Вона рівносильна координатним рівностям , , . Якщо , , , то із попередніх рівностей випливає, що , тобто координати векторів пропорційні. Якщо деякі з координат одного із векторів рівні нулю, то відповідні координати у другого колінеарного до нього вектора теж дорівнюють нулю.

Навпаки, якщо виконуються рівності , то, прирівнявши дані відношення до , дістаємо , , . Звідси випливає рівність , яка означає колінеарність векторів та .