Додавання та віднімання векторів. Властивості цих операцій.
Введемо означення лінійних операцій над векторами. Під лінійними операціями над векторами розуміють дії додавання та віднімання векторів, а також множення їх на довільне дійсне число.
Означення 6. Сумою векторів та називають вектор, проведений з початку вектора до кінця вектора при умові, що кінець вектора співпадає з початком вектора (рис. 4).
Суму
векторів
та
позначають символом
.
Для довільних трьох точок
та
,
згідно із означенням суми векторів,
виконується рівність
.
Означений таким чином спосіб додавання векторів називають “правилом трикутника”.
Якщо вектори та відкласти із спільного початку і на одержаних відрізках, як на сторонах, побудувати паралелограм, то вектор, який співпадає з діагоналлю та має початок у точці, яка є спільним початком даних векторів, буде їхньою сумою (рис. 5). Такий спосіб знаходження суми векторів називається “правилом паралелограма” Очевидно, що додавання векторів за “правилом трикутника” та “правилом паралелограма” дають у підсумку один і той же вектор.
Якщо
послідовно додавати вектори
…,
,
то у результаті отримаємо вектор
.
В математиці такі суми записують за
допомогою символу
(велика грецька буква сигма).
Зокрема, попередню рівність можна
записати у вигляді
.
Якщо
,
то це означає, що точки
та
співпадають, тобто многокутник
замкнутий.
Очевидно,
що для довільного трикутника
виконується рівність
.
Навпаки, якщо дано три вектори
та
,
серед яких є хоча б два не колінеарних,
то із них можна утворити трикутник
тільки у випадках, коли виконується
рівність
,
або коли один із векторів є сумою двох
інших.
Виходячи
із нерівності трикутника, можна
стверджувати, що для довільних двох
векторів
виконується нерівність
.
При цьому знак рівності виконується
тільки у випадку однаково напрямлених
векторів.
Зупинимося на деяких властивостях операції додавання векторів. Зокрема, при додаванні можна користуватися рівностями:
1)
(комутативність додавання або переставна
властивість);
2)
(асоціативність додавання або сполучна
властивість);
3)
;
4)
.
Доведення властивості 1) випливає із рисунка 5.
Для
доведення властивості 2) покладемо
.
Тоді
,
,
,
,
тобто
.
Доведення властивостей 3) та 4) очевидне.
Означення
7. Різницею
векторів
та
називають вектор
,
який є розв’язком рівняння
.
Такий
розв’язок завжди існує та єдиний.
Справді, розглянемо вектор
.
Підставляючи його у рівняння
та використовуючи властивості 2), 4) і
3), встановлюємо, що він є розв’язком
рівняння.
Для
доведення єдиності припустимо, що існує
деякий інший вектор
,
який є розв’язком рівняння. Тоді
виконуються рівності
та
.
Додавши до обох частин останньої рівності
вектор
,
отримуємо
.
Різницю
векторів
та
записують у вигляді
.
Таким чином, запис
,
згідно з означенням різниці векторів,
означає, що виконується рівність
.
Звідси випливає спосіб побудови вектора
,
який є різницею векторів
та
,
а саме:
Вектори
та
відкладають із спільного початку, а
потім, сполучивши кінці векторів
,
та вибравши напрям шуканого вектора
від кінця
до кінця вектора
,
одержують вектор
(рис. 6).
Очевидно,
що різницю векторів
та
можна
одержати, додаючи вектори
та
(рис. 7), тобто для різниці векторів
виконується рівність
.
