4. Відстань між двома паралельними прямими.

Розглянемо детальніше випадок, коли прямі та паралельні. Пропорційність коефіцієнтів біля змінних x та y дозволяє записати їхні рівняння у виді

Д ля відшукання відстані між цими прямими достатньо знайти відстань від точки на одній з них до другої прямої (на рис. 7 – це відстань від точки , яка належить прямій , до прямої ). Користуючись відомою нам формулою відстані від точки до прямої, знаходимо

.

Враховуючи те, що , остаточно дістаємо

.

Одержане співвідношення дозволяє знаходити відстань між паралельними прямими.

5. Геометричний зміст знаку виразу .

П ряма яка розглядається в деякій афінній системі координат , розбиває площину на дві півплощини з границею d. Встановимо умови, які визначають ці півплощини. Насамперед відмітимо, що вектор не може бути паралельним до прямої . Справді, нам відомо, що вектор паралельний до прямої. Тоді якби вектори та були колінеарними, то виконувалася б рівність , або , що неможливо, оскільки коефіцієнти та в рівнянні прямої одночасно не можуть дорівнювати нулю. Обчислимо значення виразу для довільної точки , яка не належить прямій . Для цього через точку проведемо пряму паралельно до вектора та позначимо точку її перетину з прямою через (рис. 8). Із колінеарності векторів та тобто з рівності випливають співвідношення , . Тому

.

Отже, знак виразу залежить тільки від знаку числа . При вектори та співнапрямлені, тому точки, для яких має місце нерівність утворюють одну півплощину, а при вектори напрямлені протилежно, тому точки, для яких виконується нерівність , будуть утворювати іншу півплощину з границею .

6. Пучок прямих.

Множину всіх прямих площини, які проходять через спільну точку, називають пучком прямих з центром у цій точці.

Очевидно, що пучок прямих можна задати, вказавши центр пучка, або задавши центр пучка, як точку перетину двох прямих.

Рівняння

, (1)

де та – довільні коефіцієнти, які одночасно не дорівнюють нулю, а – фіксовані, задає рівняння пучка з центром у точці . Справді, якщо та одночасно не рівні нулю, то дане співвідношення є рівнянням першого степеня, тобто задає пряму, яка, очевидно, проходить через точку . Напрям прямої визначається коефіцієнтами та і може бути довільним. Іноді крім рівняння (1), яке містить два змінні параметри та , розглядають рівняння пучка з одним параметром у вигляді

, (2)

або

. (3)

Зауважимо, що у цьому випадку пучок (2) не містить однієї з усіх прямих пучка (1), а саме прямої , а з пучка (3) не можна одержати пряму (в пучку (1) пряму отримуємо при , а пряму – при ).

Нехай центр пучка заданий перетином двох прямих

, (4)

причому . Тоді рівняння пучка можна задати, не розв’язуючи системи (4), тобто не знаходячи центра пучка. Справді, розглянемо рівняння

, (5)

де та – змінні параметри, які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо – розв’язок системи (4), то він є розв’язком рівняння (5), оскільки кожен із двох доданків у даній точці перетворюється в нуль. Щоб показати, що рівняння (5) є рівнянням першого степеня, тобто є рівнянням прямої, потрібно переконатись, що коефіцієнти біля змінних та одночасно не можуть перетворюватися в 0.

Доведемо це методом від супротивного. Нехай та , а також . Тоді , що суперечить умові про існування єдиного розв'язку системи (4) (при з умови випливало б, що , що приводять до суперечності). Те, що пряма (5) може мати довільний напрям, тобто бути паралельною до довільного вектора , випливає з того, що система

має єдиний розв’язок (нагадаємо, що вектор є напрямним для прямої (5)). Іноді рівняння пучка (5) записують, користуючись лише одним змінним параметром у вигляді

(6)

або

. (7)

Певним недоліком таких записів є те, що з пучка (7) не можна отримати пряму , а із пучка (6) – пряму . При розв’язуванні задач із застосуванням рівнянь (6) або (7) такі прямі потрібно розглядати окремо.