3. Поняття порядку лінії.

Розглянемо на координатній площині деяку лінію , а також рівняння з двома змінними . Домовимось називати дане рівняння рівнянням лінії , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на лінії, а також координати кожної точки на лінії задовольняють дане рівняння. В курсі аналітичної геометрії вивчають тільки деякі із ліній, зокрема ті, які найчастіше зустрічаються в практичній діяльності. – так звані алгебраїчні лінії першого та другого порядків.

Означення 1. Лінію будемо називати алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(3)

де – деякі числові коефіцієнти, а показники степенів – натуральні числа або нулі.

Сума називається степенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком лінії.

Наприклад, рівняння є рівнянням алгебраїчної лінії четвертого порядку. Відомі з шкільного курсу математики коло та парабола є алгебраїчними лініями другого порядку (нагадаємо, що рівняння цих ліній мають вигляд ).

Покажемо, що порядок лінії інваріантний відносно вибору афінної системи координат, тобто однаковий в різних системах координат. Після переходу до іншої системи координат рівняння (3), враховуючи рівності (1), набуде виду

. (4)

Оскільки степінь кожного із доданків в отриманій рівності не перевищує степеня відповідного доданка в рівності (3), то порядок лінії, заданої рівністю (4), не перевищує порядку лінії, заданої рівністю (3). Водночас, оскільки , то, розв’язавши систему (1) відносно , дістанемо аналогічні до (1) лінійні рівності, які виражають змінні через змінні . Тому підстановка їх в співвідношення (4) приводить до рівняння лінії, порядок якої не перевищує порядку лінії (4). Таким чином, порядки ліній, заданих рівняннями (3) та (4), однакові.

4. Поняття порядку поверхні.

Нехай у просторі задана деяка поверхня , а також задане рівняння . Домовимось називати його рівнянням поверхні , якщо кожний розв’язок рівняння задає точку на поверхні, а також координати кожної точки на поверхні задовольняють дане рівняння.

Означення 2. Поверхню будемо називати алгебраїчною, якщо у деякій афінній системі координат її рівняння можна задати у вигляді рівності

(5)

де – деякі числові коефіцієнти, показники степенів – натуральні числа або нулі.

Сума називається степенем відповідного доданка.

Найбільший із степенів доданків називають порядком поверхні.

Аналогічно, як і у випадку лінії, можна довести, що порядок поверхні не залежить від вибору афінної системи координат, тобто є її інваріантом. У курсі аналітичної геометрії вивчаються поверхні першого та другого порядків.

Одною із найпростіших поверхонь другого порядку є сфера. Складемо рівняння сфери з центром у точці , радіус якої дорівнює (рис. 4).

Нехай точка належить поверхні. Оскільки , то, використавши формулу відстані між двома точками, дістаємо

, (6)

звідки

. (7)

Навпаки, нехай – один із розв’язків рівняння (7) та – відповідна точка. Тоді цей розв’язок буде також розв’язком рівняння (6), тобто . Таким чином, точка лежить на сфері. Рівняння (7) називають рівнянням сфери. Очевидно, що сфера – це алгебраїчна поверхня другого порядку.