1.3 Задача локального управления как задача многокритериальной оптимизации

Задача локального управления может решаться для отдельной подсистемы, а также для отдельной коалиции в рамках заданной коалиционной структуры при фиксированных стратегиях соответствующих контркоалиций. При этом предполагается, что внутри коалиции имеет место согласованный (кооперативный) характер взаимодействия подсистем, который проявляется в том, что все игроки (подсистемы) действуют совместно с целью увеличения своих выигрышей.

Для удобства обозначений будем предполагать, что подсистемы образуют единую коалицию . То есть в этом случае игру (1.9) можно рассматривать, как кооперативную.

В классической теории кооперативных игр изучаются в основном игры в форме характеристической функции. При этом основная проблема состоит в выборе дележа, распределяемого между игроками после завершения игры []. Отсутствие же прямых коммуникаций между управляющими подсистемами на уровне управления можно трактовать, как отсутствие дележа.

В указанном случае одной из основных интерпретаций постановки задачи (1.9) является ее формулировка в виде задачи многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности:

. (1.11)

В (1.11) требуется минимизировать компоненты векторного показателя , заданного на прямом произведении множеств , где .

1.3.1 Детерминированная задача многокритериальной оптимизации

Рассмотрим предварительно задачу (1.11) в детерминированном варианте, когда :

. (1.12)

Как известно, на множестве достижимых векторных оценок задачи (1.12) естественным образом можно ввести систему бинарных отношений нестрогого, строгого предпочтения и безразличия соответственно вида:

; (1.13)

; (1.14)

. (1.15)

Отношения (1.13)-(1.15) взаимосвязаны следующим образом: ; . Поэтому в постановке задачи (1.12) присутствует отношение .

Определение 1.1. Векторная оценка называется минимальной (недоминируемой) по на множестве достижимых векторных оценок в задаче многокритериальной оптимизации (1.12), если не существует векторной оценки такой, что .

Определение 1.2. Множество минимальных по объектов из называется внутренне устойчивым, если не может быть ни , ни .

Определение 1.3. Множество называется внешне устойчивым, если для всякого элемента , который не является минимальным, найдется более предпочтительный минимальный элемент , т.е. .

Определение 1.4. Внешне и внутренне устойчивое множество называется ядром отношения на множестве .

Определение 1.5. Векторная оценка , где отношение строгого предпочтения определено в виде (1.14), называется эффективной (оптимальной по Парето). Множество называется эффективным или множеством Парето и обозначается . Соответствующее допустимое решение называется эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи (1.12). Множество эффективных решений обозначается .

На множестве достижимых векторных оценок задачи (1.12) можно определить отношение строго предпочтения в ином виде:

. (1.16)

Определение 1.6. Векторная оценка , где отношение строгого предпочтения определено в виде (1.16), называется слабо эффективной (оптимальной по Слейтеру). Множество называется слабо эффективным или множеством Слейтера и обозначается . Допустимое решение называется слабо эффективным (оптимальным по Слейтеру) решением задачи (1.12). Множество оптимальных по Слейтеру решений обозначается .

Легко показать, что .

В работах [Ю] развивается более общий подход к проблеме многокритериальной оптимизации, основанный на теории доминирования и использующий в качестве основных такие понятия, как структура доминирования, конус доминирования, оптимальность по конусу.

Определение 1.7. Каждому элементу поставим в соответствие множество , называемое множеством доминирующих факторов. Если таков, что и , то будем говорить, что элемент доминирует , (или предпочтительнее, чем ).

Совокупность , определенная на всем множестве , называется структурой доминирования.

Определение 1.8. Пусть  - замкнутый выпуклый конус, с вершиной в точке . Если таков, что и , то будем говорить, что элемент доминирует относительно конуса доминирования .

Таким образом, с помощью замкнутого выпуклого конуса доминирования можно описать на множестве достижимых векторных оценок систему бинарных отношений в следующем виде:

, (1.17)

, (1.18)

. (1.19)

Тогда постановка задачи многокритериальной оптимизации может быть записана в виде

. (1.20)

Определение 1.9. Векторная оценка называется -оптимальным (оптимальным по конусу ) на множестве , если не существует , , такой, что . Соответствующее допустимое решение называется -оптимальным решением задачи (1.20). Будем обозначать множество всех -оптимальных в векторных оценок, как , а множество всех -оптимальных решений задачи (1.20), как соответственно .

При получается отношение вида (1.14), а при  - отношение вида (1.16). Это означает, что многокритериальная задача (1.12) является частным случаем задачи оптимизации по конусу (1.20), а свойства оптимальности по Парето и по Слейтеру – частными случаями оптимальности по конусу.

Конус доминирования имеет ряд полезных свойств.

Теорема 1.1 []. Пусть ,  - выпуклые конусы, и . Тогда в задаче (1.12)

. (1.21)

Теорема 1.2 []. Пусть ,  - различные выпуклые конусы. Тогда в задаче (1.12):

1. ; (1.22)

2. . (1.23)

Если конус доминирования является полиэдральным, то, как известно, его можно представить в виде системы неравенств:

, (1.24)

где  - числовая матрица размерности . В этом случае взаимосвязь принципов оптимальности по конусу и оптимальности по Парето устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1.3 (Ю) []. Пусть в задаче многокритериальной оптимизации (1.20)  - полиэдральный конус доминирования вида (1.24). Рассмотрим  - новый векторный показатель вида

. (1.25)

Тогда оптимальные по Парето точки для векторного показателя точно совпадают с  - оптимальными точками для векторного показателя на множестве : .