Лекция № 9. Статистическая физика
9.1. Распределение максвелла
Распределение
Максвелла дает количественное
распределение молекул по величине их
скорости. Для описания этого распределения
рассмотрим воображаемое пространство
скоростей (
–пространство).
По осям координат в таком пространстве
откладываются составляющие скорости
.
Скорости каждой молекулы в таком
пространстве соответствует точка. Из-за
столкновения молекул положения каждой
из точек быстро изменяются с течением
времени. Однако
в
равновесном состоянии
плотность точек в каждом месте пространства
с течением времени не изменяется.
О
чевидно,
что все направления движения равноправны,
поэтому расположение точек относительно
начала координат будет сферически
симметричным. Это означает, что плотность
точек может зависеть только от модуля
скорости
или от
.
Обозначим
плотность точек произведением
,
где
– полное
число молекул в данной массе газа, а
–
некоторая функция от модуля скорости.
Точки,
изображающие молекулы со скоростями
от
до
,
заключены
в шаровом слое пространства скоростей
между сферами с радиусами
и
.
Объем
этого слоя равен:
.
(9.01)
Следовательно, количество молекул со скоростями в указанном интервале
. (9.02)
Разделив
на N,
найдем вероятность
того, что скорость произвольно взятой
молекулы окажется в рассматриваемом
интервале:
. (9.03)
Таким образом, функция
(9.04)
играет роль функции распределения молекул по скоростям.
Вид этой функции был теоретически найден Максвеллом:
(9.05)
П
римечателен
тот факт, что в показателе экспоненты
в (9.05)
стоит отношение
кинетической энергии молекулы к величине
kT,
характеризующей среднюю энергию молекул
газа. Примерный вид графика функции
показан
на рисунке 9.2. При малых значениях
скорости вид
графика определяется множителем
.
Однако с ростом скорости экспоненциальный
множитель
в (9.05)
убывает
быстрее, чем растет
(показательная
функция «сильнее» степенной). Поэтому
график функции
достигает максимального значения, а
затем уменьшается по закону, близкому
к экспоненциальному.
Воспользовавшись функцией распределения молекул по скоростям Максвелла, найдем среднюю скорость молекул. По формуле (8.25) среднее значение случайной величины, фкункция распределения которой известна, определяется соотношением:
. (8.25)
В
наших обозначениях функцией распределения
является
.
Положим
.
Скорость молекул намного меньше скорости
света в пустоте, поэтому верхний предел
интегрирования можно положить равным
бесконечности. Тогда:
. (9.06)
Выполнив интегрирование, получим:
(9.07)
Аналогичным образом можно найти среднюю квадратичную скорость:
. (9.08)
(9.09)
Очевидно, что наиболее вероятной скоростью молекул является скорость, соответствующая максимуму функции распределения. Для ее вычисления найдем производную от по и приравняем ее нулю:
(9.10)
Или, после вынесения общего множителя за скобки,
. (9.11)
Значения
и
удовлетворяют уравнению (9.11)
, но
они соответствуют минимумам
.
Следовательно, максимуму
соответствует равенство нулю выражения
в скобках, а значит
. (9.12)
Представляет интерес рассмотреть, как изменяется при изменениях температуры. Для этого подставим значение скорости (9.12) в (9.5):
. (9.13)
Т
аким
образом, при повышении температуры
максимум
смещается
вправо (
)
и становится меньше, как это показано
на рисунке 9.3.
Важно иметь в виду, что при этом площадь под кривой остается постоянной, поскольку функция распределения обладает свойством
(9.14)
Действительно, интеграл (9.14), в соответствии с определением функции распределения, дает вероятность обнаружения молекулы со скоростью от 0 до ∞, т.е. с какой-нибудь скоростью, а это вероятность достоверного события, всегда равная единице. Условие (9.14) называют условием нормировки функции распределения.
Отметим, что если рассматривать распределение по скоростям различных газов при фиксированной температуре, то переход к более легким молекулам отражается на графике функции распределения аналогично переходу к более высоким температурам.
Вычисления
показывают, что при нормальных условиях
у 70% молекул скорость отличается от
не более,
чем на 50%. Скоростью большей 3
обладают
не более 0,04% молекул. Скорость более 5
встречается у одной молекулы из
молекул.
Другими словами скорости,
а значит и энергии, молекул действительно
группируются вблизи наиболее вероятного
значения,
как мы говорили ранее.
Отметим, в заключении, что, произведя замену переменных в (9.5), можно получить распределение молекул по значениям кинетической энергии:
, (9.15)
где - есть коэффициент пропорциональности (нормировочный коэффициент).