9. Уравнение ван-дер-ваальса

Уравнение состояния идеального газа удовлетворительно описывает поведение реальных газов только при не очень высоких давлениях и высоких температурах. Более точное описание в широком диапазоне давлений и температур дает уравнение Ван-дер-Ваальса, которое для одного моля имеет вид:

, (7.38)

где - объем моля;

 экспериментально определяемые для каждого газа константы.

Очевидно, что уравнение (7.38) получено из уравнения для идеального газа путем введения поправок. Поправка учитывает существование взаимного притяжения молекул газа. При этом взаимодействуют молекулы, находящиеся в пределах радиуса молекулярного действия. Вследствие этого притяжения давление внутри газа оказывается больше, чем оказываемое извне давление на величину, которую называют внутренним давлением. Сила взаимодействия элементарных объемов в пределах этого расстояния пропорциональна концентрации молекул в одном и другом объемах, а концентрация, в свою очередь обратно пропорциональна V. Соответственно, внутреннее давление также должно быть обратно пропорционально .

Поправка учитывает тот факт, что вследствие конечности объема каждой молекулы не весь объем сосуда V доступен для движения молекул. Количество она равна нескольким объемам молекул, содержащихся в моле газа.

Поскольку в уравнении Ван-дер-Ваальса учитывается взаимодействие молекул на расстоянии, выражение для внутренней энергии вандерваальсовского газа должно включать энергию взаимодействия молекул. Работа расширения против сил внутреннего давления равна приращению энергии:

. (7.39)

Интегрируя (31), находим:

, (7.40)

Тогда для внутренней энергии можно записать выражение:

, (7.41)

При (7.41) должно переходить в выражение для внутренней энергии идеального газа, а значит и

, (7.42)

10. Барометрическая формула

Известно, что давление атмосферы сильно зависит от высоты над уровнем моря. Получим формулу, которая, при разумных упрощениях, описывает эту зависимость.

Пусть давление атмосферы на высоте равно . Тогда на высоте давление будет , причем и имеют противоположные знаки. Разность давлений на высотах и равна весу газа в объеме цилиндра с единичной площадью высотой :

, (7.43)

При условиях близких к нормальным воздух можно считать идеальным газом с плотностью . Поэтому

, (7.44)

Разделяя переменные в (7.44) , приходим к уравнению:

, (7.45)

Если пренебречь зависимостью температуры от высоты (об этом говорят также «для изотермической атмосферы»), то, интегрируя (7.45), получим:

, (7.46)

После потенцирования соотношение (7.46) принимает вид:

, (7.46)

Если принять, что на высоте давление равно , то константа , и в окончательном виде получаем

, (7.46)

Формула (7.46) называется барометрической.

Лекция 8 статистическая физика

8.1. Давление газа на стенку в мкт

В равновесном состоянии молекулы газа движутся хаотически: все направления движения равновероятны и ни одному из них не может быть отдано предпочтение перед другими. Величина скорости молекул вследствие их многочисленных столкновений может различаться довольно сильно. Однако как очень большие, так и очень малые значения маловероятны. Скорости большинства молекул группируются вблизи некоторого наиболее вероятного значении, близкого к среднему. (Более подробно о характере теплового движения молекул – самостоятельно).

Е стественно предположить, что давление газа на стенки сосуда обусловлено большим количеством ударов отдельных молекул о стенку. Рассмотрим, как это предположение обосновывается в молекулярно кинетической теории (МКТ).

Для упрощения рассуждений предположим, молекулы в газе движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что из молекул в единице объема часть летит по направлению к элемент стенки сосуда.

Выделим мысленно из молекул в единице объема те молекул, скорости которых лежат в интервале от до . За время до элемента долетят те молекулы из , которые находятся в объеме цилиндра с основанием и высотой , а их скорости направлены к . Следовательно, число ударов этих молекул

. (8.1)

При соударении со стенкой каждая из молекул передает стенке импульс , т.к. направление движения изменяется на противоположное. Следовательно, суммарный импульс, переданный элементу поверхности стенки сосуда за время молекулами со скоростями в интервале от до будет равен:

. (8.2)

Общий импульс, получаемый элементом стенки от молекул всех скоростей, за , мы получим, сложив для всех скоростей от 0 до (скорость молекул во всяком случае не превосходит скорость света в пустоте):

. (8.3)

Интеграл в (8.3) можно найти, если учесть, что величина

(8.4)

есть, по определению, среднее значение квадрата скорости. Выразив из (8.4) интеграл и подставив его значение в (8.3), получим:

(8.5)

Разделив (5) на , получим по второму закону Ньютона силу давления молекул на , а разделив на , получим выражение для давления:

(8.6)

где - среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул.