7. Политропические процессы.

Обычно рассматривают процессы, в ходе которых газ подчиняется, кроме уравнения состояния, некоторому дополнительному условию. Соответственно различают изотермический, изохорный, изобарный и адиабатный процессы. (Напомним, что адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с внешней средой.) Оказывается, что все перечисленные процессы являются частичными случаями политропического процесса, в ходе которого, по определению, остается постоянной теплоемкость тела.

Найдем уравнение политропы, т.е. уравнение, связывающие параметры идеального газа при политропическом процессе. Обозначим теплоемкость тела в ходе конкретного политропического процесса . Тогда из первого начала термодинамики следует, что ( )

. (7.20)

Преобразуем (7.20) к виду:

. (7.21)

Выразим из уравнения состояния:

, (7.22)

и подставим в (7.21):

. (7.23)

Умножим (7.23) на и перегруппируем слагаемые:

. (7.24)

Разделим (7.24) на и учтем что :

. (7.25)

После интегрирования (7.25) получим соотношение:

. (7.26)

Разделим обе части (7.26) на :

. (7.27)

Обозначим:

. (7.28)

Тогда (7.27) можно записать в виде

или . (7.29)

Потенцирование (7.29) (надо возвести число е в степень выражения в левой части) дает соотношение:

. (7.30)

Уравнение (7.30) есть искомое уравнение политропы, а величина n называется показателем политропы.

Значение соответствует , т.е. изобарному процессу.

Значение соответствует нулевому знаменателю в (7.28), т.е. , а значит изохорному процессу.

Значение соответствует закону Бойля-Мариотта, т.е. изотермическому процессу. Действительно, при изотермическом процессе по определению процесса, а сообщаемое тепло . Следовательно, теплоемкость при изотермическом процессе , что соответствует .

При адиабатном процессе при , а значит теплоемкость в ходе такого процесса . В этом случае показатель политропы оказывается равным и, следовательно, уравнение адиабаты имеет вид:

. (7.31)

Уравнение адиабаты (7.31) называется уравнением Пуассона. Это уравнение описывает обратимый адиабатный процесс (конкретные точные значения параметров), а значит процесс квазистатический. Поскольку в природе не существует не проводящих тепло тел, то достаточно близкими к адиабатному могут быть только весьма быстро протекающие процессы. Примером такого процесса может быть сжатие и расширение, происходящее в данной точке газа при распространении в нем звуковой волны. При этом состояние газа в малом объеме приближается к равновесному, и при распространении волны в газе происходит адиабатный процесс.

8. Работа, совершаемая идеальным газом

Общая формула для вычисления работы имеет, как мы знаем, вид:

. (7.32)

Воспользовавшись уравнением политропы (7.30), выразим из него давление:

. (7.33)

Тогда для работы при политропическом процессе найдем:

. (7.34)

Соотношение (7.34) легко преобразовать к виду:

. (7.35)

В соответствии с уравнением состояния идеального газа

. (7.36)

Поэтому для работы при политропическом процессе можно записать:

. (7.37)

Формулы (7.35) и (7.37) позволяют найти работу при любом политропическом процессе, кроме процесса при котором , т.е. при изотермическом процессе. Вывод формулы для работы при изотермическом процессе изучить самостоятельно.