3.3 Метод дифференциальной прогонки.

Как и раньше цель метода – преобразовать краевую задачу для линейного ДУ:

L [y]  y(x)+ p(x)y(x) + q(x) y(x) = f (x), x  [a, b], (2)

l_a[y]  ₀y(a) + ₁y(a) = A, (3)

l_b[y]  ₀y(b) + ₁y(b) = B. (4)

к эквивалентной начальной задаче Коши. Для этого в методе дифференциальной прогонки предполагают, что существуют такие две функции:  = (x) и  = (x), с помощью которых решение y(x) линейного ОДУ второго порядка (2), может быть представлено как решение некоторого ДУ первого порядка:

y(x) = (x) y(x) + (x). (23)

Продифференцируем равенство (23):

y (x) = (x) q(x) + (x) y(x) +  (x).

и подставим полученное выражение для второй производной y (x) в исходное уравнение (2):

(x)y(x) + (x)y(x) + (x) + p(x)y(x) + q(x)q(x) = f (x),

Отсюда, выразив y(x), получаем равенство:

(24)

Уравнения (23) и (24) можно отождествить при условии, что:

Откуда получаем, что функции  = (x) и  = (x) должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(25)

Итак, мы получили уравнения, которым должны удовлетворять функции (x), (x), чтобы производная от искомого решения, искомая в виде, y(x) = (x)y(x) + (x) удовлетворяла ДУ (2):

y(x)+ p(x)y(x) + q(x) y(x) = f (x).

Далее, исходя из первого краевого условия, связывающего в точке a функцию y(x) и её производную y(x),

₀ y(a) + ₁ y (a) = A. (3)

необходимо найти начальные условия, которым должны удовлетворять функции (x), (x) в точке a.

В соответствии с (23) для функции y(x) в точке a имеем:

y(a) = (a) y(a) + (a). (26)

Подставляя (26) в (3) и предполагая что ₁  0, получим:

(27)

Приравнивая правые части соотношений (26) и (27) приходим к системе (28), определяющей начальные условия для функций (x) и (x).

(28)

Система уравнений (25) для функций (x) и (x) совместно с начальными условиями (28) составляет задачу Коши, эквивалентную исходной краевой задаче (2) - (3):

(29)

Решив на отрезке [a, b] задачу Коши (29), найдём функции (x) и (x), используемых в формуле (23). При этом функция y(x) = (x) y(x) + (x) в точке a будет удовлетворять первому краевому условию (3).

Поскольку мы ищем решение y(x) уравнения (23), которое одновременно является и решением исходной краевой задачи (2) – (4), то необходимо потребовать, чтобы в точке b величины y(b) = (b)y(b) + (b) и y(b) удовлетворяли второму краевому условию (4):

l_b[y]  ₀y(b) + ₁y(b) = B

откуда имеем:

₀y(b) + ₁(b)y(b) + ₁(b) = B.

Из последнего равенства получаем начальное условие (30) для решения y(x) уравнения (23) в точке b, при котором y(x) будет удовлетворять условию (4) исходной краевой задачи:

, (30)

где, естественно предполагается, что .

Далее (при определённых ранее функциях (x) и (x) ) решаем последнюю задачу Коши:

y (x) = (x)y(x) + (x);

от точки b к точке a и в результате находим решение y(x), удовлетворяющее исходной краевой задаче (2), (4).

Таким образом, метод дифференциальной прогонки решения линейной краевой задачи (2) - (4) заключается в решении трёх начальных задач для дифференциальных уравнений первого порядка:

• сначала решается система двух начальных задач, т.е. решаются уравнения (25) с начальными условиями (28) в прямом направлении от точки а к точке b;

• затем (после определения функций (x) и (x)) в обратном направлении от точки b к точке а решается начальная задача (23), (30), при этом полученное решение начальной задачи (23), (30), будет удовлетворять исходной краевой задаче (2) – (4).

При численной реализации этого метода следует обратить внимание на необходимость согласования расчётных сеток решения начальных задач в одном и другом направлениях так, чтобы имелась возможность получения решения последней задачи Коши (23), (30) с нужной точностью при условии, что в процессе численного интегрирования вспомогательных уравнений (25) находятся каркасы функций (x) и (x) на своих сетках.