3.2 Метод редукции.

Как и раньше цель метода редукции – преобразовать краевую задачу к эквивалентной ей начальной задаче.

Пусть имеется краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

L [y]  y(x)+ p(x)y (x) + q(x) y(x) = f (x), x  [a, b], (2)

l_a [y]  ₀ y(a) + ₁ y(a) = A, (3)

l_b [y]  ₀ y(b) + ₁ y(b) = B. (4)

где функции p(x), q(x), f (x) непрерывны.

Требуется найти решение ДУ (2) удовлетворяющее краевым условиям (3), (4), где ₀, ₁, ₀, ₁, A и B  заданные постоянные величины. Также считаем, что:

₀ + ₁  0, ₀ + ₁  0.

Будем искать решение y = y (x) линейной краевой задачи (2) – (4) в виде линейной комбинации двух функций:

y(x) = Сu(x) + (x), (10)

где

С  произвольная постоянная*;

u(x)  ненулевое решение соответствующего однородного уравнения:

u(x) + p(x) u(x) + q(x) y(x) = 0.

(x)  некоторое решение данного неоднородного уравнения (2):

(x)+ p(x) (x) + q(x) (x) = f (x).

(*Как и в методе пристрелки произвольная постоянная C специально введена в структуру искомого решения (10) для того, чтобы после сведения исходной краевой задачи к задаче Коши доопределением постоянной С можно было добиться выполнения требования второго краевого условия (4) для полученного решения эквивалентной задачи Коши).

Очевидно, что функция y(x), определяемая формулой (10), где С - произвольная постоянная, есть решение линейного ДУ (2).

Требования на функции u(x) и (x), налагаемые краевым условием (3).

В начале потребуем, чтобы первое краевое условие (3) выполнялось для функции y = Сu(x) + (x) при любом С, т.е. в терминах используемых обозначений, имеем:

l_a[y]  ₀y(a) + ₁ y(a) = ₀( Сu(a) + (a) ) + ₁ ( Сu(a) + (a) ) = A

или

С [₀ u(a) + ₁ u(a)] + ₀(a) + ₁ (a) = A (11)

Для того чтобы равенство (11) было справедливо при любом С, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при С обращался в нуль, т.е. должны быть выполнены равенства:

(12)

Очевидно, что для обеспечения равенства (a) системы (12) достаточно, например, положить:

u(a) = ₁k и u(a) =  ₀k (13)

где k  постоянная, отличная от нуля.

Выполнения равенства (b) системы (12) можно добиться, если, например, потребовать, чтобы функции (x) и (x) удовлетворяли следующим начальным условиям:

если ₀  0 (14)

или если ₁  0 (15)

Требования на функции u(x) и (x), налагаемые ОДУ. Мы считаем, что функция y = С u(x) + (x) является решением уравнения (2) при любых С, т.е. считаем, что:

L[Сu(x) + (x)] = f (x),  С  R.

В силу линейности дифференциального оператора L[ ], соответствующего ДУ (2) последнее равенство можно переписать в виде:

L[Сu(x) + (x)] = С L[u(x)] + L[(x)] = f (x),  С  R, (16)

Для того чтобы равенство (16) было справедливо при любом С, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при С обращался в нуль, т.е. должны быть выполнены равенства:

(17)

То есть, как и предполагалось выше, функция u(x)  должна быть ненулевым решением соответствующего однородного уравнения:

u(x) + p(x) u(x) + q(x) y(x) = 0.

а функция (x)  некоторое решение неоднородного уравнения (2):

(x)+ p(x) (x) + q(x) (x) = f (x).

В этом случае функция y(x) = Сu(x) + (x) при любом СR является решением ДУ (2).

Таким образом для функции y = Сu(x) + (x), значения составляющих функций u(x) и (x) могу быть найдены при решении следующих задач Коши:

L[u(x)] = 0  u (x) + p(x) u (x) + q(x) u(x) = 0. u(a) = 1 и u (a) =  0.

(18)

L[(x)] = f (x)   (x) + p(x)  (x) + q(x)  (x) = f (x). при 0. 0 или при 1. 0

(19)

Это означает, что краевая задача (2) – (4) заменена эквивалентной ей совокупностью начальных задач (18), (19), решения для которых можно получить методами рассмотренными раньше.

Отметим, что при сведении исходной краевой задачи к совокупности двух задач Коши нами использовалось только первое краевое условие (3) и не использовалось второе краевое условие (4). В этой связи, строго говоря, для промежутка [a, b] эта обсуждаемая эквивалентность задач (2) - (4) и (18) - (19) предполагает совпадение решений начальной и краевой задач только для точки a и какой-то её правой окрестности. Поэтому в точке b найденные значения u(b), u(b) и (b), (b), вообще говоря, могут не удовлетворять второму граничному условию (4) рассматриваемой краевой задачи (2) - (4):

l _b [y]  ₀y(b) + ₁y(b) = B.

Для того, чтобы добиться выполнения требования второго краевого условия (4) используют значение произвольной постоянной С, которая присутствовала при конструировании решения y(x) = Сu(x) + (x).

Итак, пусть в результате решения задач Коши (18), (19) в точке b получены значения u(b), u(b) и (b), (b) для функций u(x), (x), входящих в решение y(x) = Сu(x) + (x). Тогда, согласно второму краевому условию (4), для решения y(x) = Сu(x) + (x) имеем:

l_b [y]  ₀y(b) + ₁y (b) = B 

l_b [y(b)] = l_b [Сu(b) + (b)] = С l_b [u(b)] + l_b [(b)] = В (20)

Постоянную С фиксируют (т.е. подбирают) таким образом, чтобы вместе с найденными значениями u(b), u (b) и (b), (b) выполнялось условие (20). Расписывая явно соотношение (20) в соответствии с краевым условием (4), получим:

С l_b [u(b)] + l_b [(b)] = С ₀ u(b) + С ₁ u(b) + ₀ (b) + ₁(b) = B (21)

Отсюда находим требуемую оценку для произвольной постоянной С:

(22)

При этом предполагается, что знаменатель: .

Заметим, что если обеспечено условие , то краевая задача (2) - (4) имеет единственное решение. В противном случае исходная краевая задача либо совсем не имеет решений, либо их бесчисленное множество.