Приближённые методы решения краевых задач для О Д У второго порядка Лекция 25

 Лекция № 25

ТЕМА: «ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА»

Пусть требуется найти функцию y = y(x), являющуюся решением обыкновенного дифференциального уравнения:

F (x, y, y, y, ... ,y⁽ⁿ⁾ ) = 0

и удовлетворяющую n условиям  условиям на значения функции y(x) и ее производных (до n  1 порядка включительно), заданные на концах интервала [a, b].

В такой постановке мы имеем дело с так называемой краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения.

Краевые задачи для дифференциальных уравнений (далее ДУ) возникают при математическом моделировании многих реальных явлений. Среди краевых задач для ОДУ существенную часть составляют задачи для уравнений и систем уравнений второго порядка. Такие Краевые задачи часто возникают при изучении процессов теплопроводности, в баллистике, теории упругости и многих других технических приложениях.

При решении краевых задач зачастую возникают дополнительные трудности по сравнению со случаем решения задачи Коши: значительно сложнее исследуется вопрос о существовании решения краевой задачи; после написания сеточной задачи возникает система линейных или нелинейных уравнений, проблема решения которой требует дополнительного изучения.

В конспекте при рассмотрении численных методов решения краевых задач для ОДУ, сначала изучаются методы, позволяющие применить накопленный арсенал методов численного решения начальных задач. Далее на основе простейших аппроксимаций производных в узлах сетки строится удобный для автоматизированных вычислений метод конечных разностей получения каркасов решений. Из приближённо-аналитических методов рассматриваются метод коллокации и метод Галёркина.

1. Основные определения.

Изучение вопроса начнём с рассмотрения линейного дифференциального уравнение второго порядка и рассмотрим различные формы краевых условий для него.

Определение. Дифференциальное уравнение (второго порядка) вместе с краевыми условиями, т.е. условиями, определяющими или задающими значения решения (и его первой производной) на «краях» (т.е. на границах) отрезка [a, b], образуют краевую задачу.

Общий вид краевых задач для ОДУ второго порядка задаётся соотношениями (1):

x  [a, b],  1 (y(a), y (a) ) = 0,  2 (y(b), y (b) ) = 0

(1)

где F,  ₁,  ₂  заданные функции определённой гладкости.

В связи большей востребованностью на практике лучше всего изучены линейные краевые задачи, т.е. задачи вида (1), в которых F,  ₁,  ₂  являются линейными функциями. В дальнейшем будут рассматриваться линейные краевые задачи для ОДУ второго порядка, определяемые соотношениями (2) – (4).

L [y]  y(x)+ p(x)y(x) + q(x) y(x) = f (x), x  [a, b], (2)

l_a [y]  ₀ y(a) + ₁ y(a) = A, (3)

l_b [y]  ₀ y(b) + ₁ y(b) = B. (4)

При этом к коэффициентам краевых условий (3) и (4) предъявляются требования:

0 + 1  0, 0 + 1  0.

(5)

а функции p = p(x), q = q(x), f = f (x), в уравнении (2) должны быть такими, чтобы краевая задача (2) – (4) имела единственное решение.

Символ L [y(x)] в определении линейной краевой задачи (2), (4) является линейным дифференциальным оператором.

Линейность оператора L [y(x)] означает, что выполняется соотношение:

L[C₁ ₁(x) + C₂ ₂(x)]  C₁L[ ₁(x)] + C₂ L[ ₂(x)].

Краевые условия (2) - (4) определяют наиболее общий или так называемый третий или «смешанный» тип краевой задачи, которая включает в себя, как частые случаи два других типа краевых задач.

1. Первую краевую задачу (или задачу первого рода) – случай, когда ₁ = ₁ = 0. Задача первого рода (или задача Дирихле) соответствует ситуации, когда в краевых условиях (3) - (4) не фигурируют значения производной от решения, а заданы только значения решения на границах отрезка [a, b].

2. Вторую краевую задачу (или задачу второго рода) – случай, когда ₀ = ₀ = 0. Задача второго рода (или задача Неймана) соответствует ситуации, когда в краевых условиях (3) - (4) не фигурируют значения решения, а заданы только значения производной решения на границах отрезка [a, b].

В случае если в краевых условиях (3) - (4) постоянные A = В = 0, то краевые условия (первого или второго рода) называются однородными.

2. Классификация методов решения краевых задач.

Исходя из типа представления результатов приближённого решения, краевые задачи обычно подразделяют на две основные группы:

1. Приближённо-аналитические краевые задачи (поставляющие приближённое решение краевой задачи в виде некоторой конкретной функции);

2. Собственно численные или сеточные методы (поставляющие каркас приближённого решения на заданной на [a, b] сетке _h. (при этом некоторые методы первой группы также предполагают использование сетки _h ).

В рамках второй группы будут рассмотрены следующие методы приближённого решения краевых задач:

• Методы сведения краевых задач к начальным - к задаче Коши (метод «пристрелки», метод дифференциальной прогонки, метод редукции).

• Метод конечных разностей.

В рамках группы приближённо-аналитических методов будут рассмотрены:

• Метод коллокации.

• Метод Галёркина.

3. Методы сведения краевых задач к начальным (к задачам Коши).

Нами изучен ряд способов приближённого решения задачи Коши. В этой связи краевую задачу можно считать принципиально решённой, если её удастся преобразовать к эквивалентной начальной задаче (задаче Коши). Известно три хорошо разработанных приёма (метод «пристрелки», метод дифференциальной прогонки, метод редукции), позволяющих преобразовать краевую задачу к начальной задаче. В процессе их применения приходится решать не одну, а несколько задач Коши различной сложности при различных ограничениях на параметры исходной задачи.

3.1 Метод пристрелки.

Пусть требуется найти приближённое решение задачи Дирихле для (в общем случае) нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

y(x) = f ( x, y(x), y(x) ), x  [a, b] (6)

с краевыми условиями первого рода (₁ = ₁ = 0).

y(a) = A, y(b) = B. (7)

Зададимся некоторым числом C₁ и будем рассматривать задачу Коши для уравнения второго порядка (6) с начальными условиями:

y(a) = A, y(a) = C₁ (8),

Суть метода пристрелки можно охарактеризовать следующим образом. Для того чтобы краевая задача первого рода (6), (7) формально могла рассматриваться в качестве начальной задачи для ОДУ второго порядка, необходимо доопределить начальное значение для производной решения y (x) в точке x = a некоторым числом C₁ (т.е. положить, что y(a) = C₁). Индекс _«1» у значения C₁ означает, что это первое приближение (т.е. первая попытка доопределить значение y(a) и в дальнейшем значение y(a) = C₁ будет уточнено).

При построении метода пристрелки в начале величину C₁ выбирают, руководствуясь теми или иными соображениями, затем получают приближённое решение задачи Коши при начальных условиях (8), сравнивают его значение в точке x = b со значением, заданным в краевом условии (7): y(b) = B. И затем по результатам сравнения проводят корректировку значения постоянной C₁, с целью удовлетворить требованию y(b) = B и т.д.

Описанный метод можно реализовать в виде следующего функционального алгоритма.

1. Зададимся некоторым числом C₁ и будем рассматривать задачу Коши для уравнения второго порядка (6) с начальными условиями: y(a) = A, y(a) = C₁.

2. Построим (каким-либо методом) на отрезке [a, b] приближённое решение y = y₁(x, C₁) начальной задачи (6), (8).

3. Сравним значение полученного приближённого решения y₁(b, C₁) в точке x = b с заданным, согласно (7), значением В.

4. На основе такого сравнения скорректируем величину C₁ до значения C₂ так, чтобы для решения y = y₂(x, C₂) новой начальной задачи Коши с условиями:

y(x) = f (x, y(x), y(x) ), x  [a, b] (6)

y(a) = A, y(a) = C₂. (9)

разница В – (y₂(b, C₂) была меньше чем разница В – (y₁(b, C₁).

Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация метода пристрелки.

На этой основе могут выстраиваться те или иные стратегии варьирования задаваемых значений y(a) = C₁, C₂, C₃, …, обеспечивающих, по возможности, наиболее быструю практическую сходимость к числу В последовательности приближений y_k(b, C_k), k = 1, 2, 3, … . Если при заданном  > 0 и некотором k = n будет выполнено неравенство В –y_n(b, C_n)  , то за искомое приближённое решение краевой задачи (6), (7) принимается функция y = y_n(b, C_n) (дискретная или непрерывная).

Способ получения решения первой краевой задачи путём последовательного решения нескольких задач Коши для того же уравнения называют методом пристрелки (или стрельбы). Такое название следует из графического отображения данного алгоритма, представленного на рис. 1.