3) На третьем этапе уточняем (аппроксимируем) значения искомой функции u(X, y) в граничных узлах а, а', в, в' и с используя формулу (17).
Для
узла А
формула (17) перепишется в виде: uA
=
где А = 4 0.13; h = 1, u(e) = 27; M = 15; в результате имеем:
uA
=
Для
узла В
формула (17) перепишется в виде: uВ
=
где В = 4 0.54; h = 1, u( f ) = 44; N = 48; в результате имеем:
uB
=
Для
узла С
формула (17) перепишется в виде: uС
=
где
Е
= 3
0.35; h
= 1, u(
f
) =
44;
Е =
63; в результате имеем:
uС
=
Таким образом, в граничных узлах имеем: uA = 13; uB = 52.6; uС = 73.2;
Заключение (план - аннотация лекции №28).
В лекции рассмотрена идея метода сеток, или метода конечных разностей, который является одним из распространённых методов численного решения уравнений с частными производными. В основе метода сеток лежит идея замены фигурирующих в уравнении математической физики частных производных конечно-разностными отношениями различной степени точности.
Подробно изложена методика использования метода сеток для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа, рассмотрены различные варианты связи узлов в «крестообразных» шаблонах прямоугольных сеток. Приведена оценка погрешности разностного метода решения задачи Дирихле.
Рассмотрена идея аппроксимации граничных условий для решения задачи Дирихле в случае, когда не все граничные узлы сетки лежат на границе расчётной области, в том числе и для случаев построения сеток с «перекрытием» расчётных областей.
На примере третьей краевой задачи для уравнений эллиптического типа обсуждаются подходы, используемые при аппроксимации граничных условий для других граничных условий, встречающихся при решении краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка.
Приведены примеры решения типовых задач для уравнений эллиптического типа как для случая прямоугольных, так и для случая криволинейных расчётных областей.
Литература:
И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.
В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.
В.Ф. Формалёв, Д.Л. Ревизников. Численные методы. – М.: Физматлит, 2004. 400 с.
Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
Н.В. Копчёнова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с.