5. Построение сеток с «перекрытием» расчётной области.

Иногда при применении конечно-разностного метода решения дифференциальных задач с частными производными для расчетных областей со сложной границей используют сетки, ряд граничных точек которых лежит за пределами границы Г. Данная ситуация представлена на рис. 5. Здесь в отличие от подхода, рассмотренного выше, точка А является внутренней, а не граничной точкой сеточной области, а граничные точки сетки M и D лежат за границей Г.

Рисунок 5 – пример сетки с «перекрытием» расчётной области

Указанный выбор границы сеточной области объясняется тем, что если в качестве граничных точек выбрать точки M и D, которые лежат ближе к границе Г, чем точка А, то при сносе (т.е. аппроксимации) граничных условий с границы Г (из точки В) в точку М, будет внесена меньшая погрешность, чем при сносе граничных условий (из точки В) в точку А. Поэтому руководствуясь принципом минимизации погрешности (в данном случае это погрешность метода сеток), иногда выносят ряд граничных точек сетки за пределы расчётной области.

Для рассматриваемого случая способ аппроксимации граничных условий аналогичен рассмотренному выше (§4) и состоит в том, чтобы неизвестное значение функции u_М в граничном узле М выразить по формуле (17), т.е. в виде линейной комбинации значения функции u_А в ближайшем внутреннем узле А и краевого значения решения  _B в ближайшей точке В границы Г расчетной области (рис. 5):

u_М.= (17)

Формула (17) соответствует линейной экстраполяции значения u_М в граничном узле М на основе значения решения во внутреннем узле u_А и значения решения  _B в ближайшей точке В границы Г.

Действительно, в случае линейной экстраполяции предполагается, что значения искомой функции u на отрезке [M, A] меняется по линейному закону, поэтому, зная значения функции u в точках B ( _B) и А (u_А) и длину отрезков [M, A], [В, A] и [M, В] можем написать, что:

Выражая отсюда значение u_М, получим уравнение (17), выражающее значения функции u_М в граничном узле М.

6. Аппроксимация граничных условий для третей краевой задачи.

До сих пор нами рассматривалась аппроксимация краевых условий первой краевой задачи (или задачи Дирихле) для уравнений эллиптического типа. Если для уравнений эллиптического типа ставится вторая или третья краевая задача, то необходим другой подход к аппроксимации краевых условий.

Рассмотрим теперь аппроксимацию других граничных условий, встречающихся при решении краевых задач для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Как отмечалось при постановке задачи для уравнений с частными производными, в случае уравнений эллиптического типа наиболее общий вид линейных граничных условий задаётся при постановке третьей граничной задачи:

где ,  и   заданные функции точки границы Г,  производная по нормали определённого направления (например, по внутренней нормали), причём предполагается, что  ² +  ² > 0.

Отметим, что приведённые граничные условия (19) являются наиболее общими, поскольку при   0,   1 из них получается задача Дирихле, при   1,   1 получается задача Неймана.

В общем случае в зависимости от  и  на различных кусках границы Г соотношением (19) могут быть заданы разные условия (на одних кусках границы заданы значения решения, на других кусках  значения нормальной производной, на третьих кусках их линейная комбинация с переменными коэффициентами).

В случае третьей граничной задачи переход от заданных граничных условий на Г к условиям на границе сеточной области сильно усложняется из-за наличия в граничных условиях нормальной производной. При таком переходе нормальная производная должна быть заменена через разности значений функции u(x, y) в узлах сетки.

Здесь мы ограничимся случаем квадратной сетки и укажем простейший способ построения уравнений задающих значения функции u(x, y) для граничных узлов.

Рисунок 6 – аппроксимация граничных условий

Обозначим цифрой 0 один из граничных узлов. Перенесём в этот узел нормаль n из точки границы Г ближайшей к точке 0 (рис. 6). Как правило, всегда можно найти два таких внутренних или граничных узла (обозначаемые далее как узел 1 и 2), что направления l₁ и l₂, проведённые из узла 0 в указанные узлы (1 и 2) будут образовывать прямой угол. Тогда, обозначая через ₀ угол между направлением l₁ на точку (1) и нормалью n можем написать:

(20)

Далее производные по направлениям l₁ и l₂ приближённо заменим отношениями:

;

где l₁ и l₂ расстояния от узла 0 до узлов 1 и 2 соответственно. Далее с учётом сказанного, равенство (20) можем заменить следующим приближённым равенством:

(20)

и для значения искомого решения u₀ в граничном узле 0 вместо заданного граничного условия на Г (19) будем иметь уравнение:

(21)

где ₀, ₀,  ₀  значения соответствующих функций в точке границы Г, ближайшей к узлу 0. При этом мы совершаем ошибку, заменяя нормальную производную линейной комбинации значений искомой функции u(x, y) в узлах, а также перенося нормаль и функции , ,  с границы Г в узел 0.

Уравнения, аналогичные уравнению (21) записываются для каждого граничного узла сеточной области. Присоединяя полученные уравнения к уравнениям для внутренних узлов, получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и равно числу внутренних и граничных узлов.