12.2.3 Контрольні питання

1. Дайте визначення задачі динамічного програмування

2. Які задачі відносяться до задач динамічного програмування?

3. В чому полягає принцип оптимальності Беллмана?

4. Наведіть основне функціональне рівняння Беллмана.

13 Практичне заняття № 13

Тема:	Градієнтні методи
Мета:	Навчитися знаходити оптимальне значення функції декількох змінних ітераційними методами
Час:	2 год.

14.1 Теоретичні відомості

Процес знаходження рішення задачі за допомогою градієнтних методів полягає в тому, що починаючи з деякої точки здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок доти, поки не виявляється прийнятне рішення вихідного задачі.

Нехай потрібно знайти максимальне значення ввігнутої функції

, (1)

при умовах

, (2)

. (3)

Характерною рисою цього задачі є те, що її система обмежень містить тільки лінійні нерівності. Ця особливість є основою для заміни в околі досліджуваної точки нелінійної цільової функції лінійною, завдяки чому рішення вихідної задачі зводиться до послідовного рішення задач лінійного програмування.

Процес знаходження рішення задачі починають із визначення точки, що належить області припустимих рішень задачі. Нехай, це точка , тоді в цій точці обчислюють градієнт функції (1)

і будують лінійну функцію

. (4)

Потім, знаходять максимальне значення цієї функції при обмеженнях (2) і (3). Нехай рішення даної задачі визначається точкою . Тоді за нове припустиме рішення вихідного задачі приймають координати точки :

, (5)

де — деяке число, назване кроком обчислень і укладене між нулем і одиницею .

Процес знаходження рішення задачі (1)-(3) методом Франка-Вулфа включає наступні етапи:

1. Визначають вихідне припустиме рішення задачі.

2. Знаходять градієнт функції (1) у точці припустимого рішення.

3. Будують функцію (4) і знаходять її максимальне значення при умовах (2) і (3).

4. Визначають крок обчислень.

5. По формулах (5) знаходять компоненти нового припустимого рішення.

6. Перевіряють необхідність переходу до наступного припустимого рішення. Якщо буде потреба переходять до етапу 2, у противному випадку знайдене прийнятне рішення вихідного задачі.

14.2 Практична частина

14.2.1 Контрольний приклад

Задача. Методом Франка-Вулфа знайти рішення завдання, що складає у визначенні максимального значення функції

при умовах

.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

14.2.2 Самостійна робота

_ Розв׳язати задачу градієнтним методом, починаючи процес ітерації з точки . Виконати І і ІІ ітерації.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________