5. Обратная матрица. Теоремы о существовании и единственности обратной матрицы.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Теорема( ) для того чтобы существовала к матрице А(необходимо , чтобы определитель матрицы был 0).

Теорема единственности Если существует, то она единственная.

+6. Минор k–го порядка. Ранг матрицы. Трапецевидная матрица. Теорема о ранге матрицы трапецевидной формы

Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Если у матрицы A среди ее миноров есть хотя бы один ненулевой минор порядка r , а все миноры больших порядков равны нулю , то число r называется рангом матрицы A

Обозначается r = r(A)

Теорема. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

7. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Теоремы о ранге эквивалентных матриц и о приведении матрицы к трапецевидной форме.

Элементарные преобразования:

1) Перестановка строк(столбцов)

2) Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) , умноженных на одно и тоже число.

Теорема: Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, если A B, то r(A)=r(B).

Теоремa: Любую матрицу используя элементарные преобразования строк, перестановку

столбцов, можно привести к трапециевидной форме.

9. Сформулировать критерий совместности системы и теорему о числе решений. Метод Гаусса.

Теорема критерий совместности системы

Система совместна, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы r(A)=r(A/B)

Теорема (О числе решений)

Пусть система совместна (r(A)=r(A/B)=r).Если r=n (n-число неизвестных),то система определенна ,если ранг r<n,то система не определенна.

Замечание: если система неопределенная ,то неизвестные соответствующие первые rстолбца трапецевидной матрицы называются базисами, а остальные n=r называются свободными.

Метод Гауса:

Пусть дана система из уравнений с nнеизвестной.

Матрица вида: (А/В)= )-называется расширенной матрицей системы шаги Метода Гауса

1)Выписываем расширенную матрицей систему и с помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов за исключением последнего столбца приводим ее к трапецевидной форме

2)Анализируем полученную матрицу