Матрицы. Виды матриц.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы.
Виды матриц:
- Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
- Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
- Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
- Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
- Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
Операции над матрицами и их свойства.
1) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число , нужно на это число умножить ее элементы.
2) Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, при этом складываются их соответствующие элементы.
3) Умножение матриц. Умножение матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы сомножителя равняется числу строк второй матрицы сомножителя.
-
Произведением матрицы 
на
матрицу 
называется
матрица 
такая,
что элемент матрицы 
,
стоящий в 
-ой
строке и 
-ом
столбце, т.е. элемент 
,
равен сумме произведений элементов
-ой
строки матрицы 
на
соответствующие элементы
-ого
столбца матрицы 
.
4) Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Свойства: 1) A+B=B+A
2) A+(B+C)=(A+B)+C
3) α × (А+В) = αА+αB 4) (A*B)*C=A*(B*C)
5) (A+B)*C=A*C+B*C
6)
7)
Определители второго, третьего порядков. Минор и алгебраическое дополнение. Определитель n –го порядка.
Минором 
к
элементу 
определителя 
-го
порядка называется определитель 
-го
порядка, полученный из исходного
вычеркиванием
-той
строки и
-того
столбца.
Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма (i + j) четное число, и со знаком « - «, если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Аij = (-1)i+j × Мij.
Определителем матрицы второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
.
Определителем матрицы третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителе N– го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.
Свойства определителя
1) Определитель матрицы A совпадает с определителем транспонированной матрицы A т ,, |A|=|Aт|
2) Если в определителе переставить местами две строки ( или два столбца) , то он сменит знак.
3) Если в определителе есть две одинаковые троки, то он равен нулю.
4) Общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя.
5) Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны можно вынести за знак определителя.
6) Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.
7) Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
8) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любой общий множитель.
9 Для квадратных матриц справедливо равенство :
|A*B|=|A|*|B|