Лабораторная работа № 7. Непрерывность и точки разрыва функции.
Если
ищется предел функции
при условии, что аргумент
,
стремясь к своему предельному значению
а,
может принимать только такие значения,
которые меньше а,
то этот предел, если он существует,
называется левосторонним
(левым) пределом данной функции в точке
=а
и условно обозначается так:
=
Аналогично можно сформулировать определение правостороннего (правого) предела данной функции, который обозначается так:
=
Теорема. Функция непрерывна при =а тогда и только тогда, когда:
1) функция определена не только в точке , но и в некотором интервале, содержащем эту точку;
2)функция имеет при а конечные и равные между собой односторонние пределы;
3)односторонние пределы при а совпадают со значением функции в точке а, т.е.
Если для данной функции в данной точке =а хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняются, то функция называется разрывной в точке =а.
Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.
Теорема.
Пусть
–функция,
непрерывная в точке а.
Тогда справедливы следующие утверждения:
10
Функция
ограничена в некоторой окрестности
точки а.
20
Если
,то в некоторой
окрестности
точки а
все значения функции положительны или
отрицательны вместе с
.
30
Если функция
определена в некоторой окрестности
точки а и,как
и
,
непрерывна
в самой точке а,то
функции:
a)
,
b)
,
c)
,
определены
в некоторой окрестности точки
а и непрерывны
в точке а.
40
Если функция
непрерывна в точке b,
а функция
такова что
и
непрерывна
в точке а ,то
композиция
определена на
и также непрерывна в точке а.
Опр.1.
Если точка
разрыва
функции
такова , что
существуют конечные
,
но
,
то
называется точкой устранимого разрыва
функции
.
Опр.2. Разрыв функции в точке =а называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.
Опр.3. Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями.
Пример 1.Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Решение:
Данная функция определена и непрерывна в интервалах
(-,2), (-2,1), (1,+),т.к. постоянная и непрерывная функции непрерывны на всей действительной оси . При х=-2 и х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х=-2:
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна
Определим односторонние пределы в точке х=1:
Т.к. односторонние пределы функции у=f(x) в точке х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода. В точке х=1 скачок функции имеет значение, равное =|2-(-3)|=5. График функции показан на рис.1.
рис.1.
Пример
2. Дана функция
.
Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Построить график функции.
Решение:
Наша функция является отношение 2-х линейных функций, которое является непрерывным на всей действительной оси. Значит исходная функция непрерывна всюду на действительной оси, кроме () x=2.
При х=-2 данная функция не существует; в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х-2 слева и справа:
Таким образом, при х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода.
ВАРИАНТЫ.
Дана функция, найти точки разрыва функции и построить график:
В-1
В-2
В-3
В-4
В-5
В-6
В-7
В-8
В-9
В-10
В-11
В-12
В-13
В-14
В-15
В-16
В-17
В-18
В-19
В-20
В-21
В-22
В-23
В-24
В-25
