Варианты
1. Доказать равенство:
1)
+
+
+…+
=
2)
3)
4)
5)
6)
7)
=
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
2.
Доказать, что для
справедливо
утверждение:
1)
6
+1
кратно 7 2) 7
-1
кратно12
3)
4
+15n-1
кратно 9 4) n
-n
является четным
5)
5
+1
кратно 6 6) 9
-8n-9
кратно 16
7)
кратно 3
8) 3
+1
кратно 4
9)
кратно 19 10)
кратно 133
11)
кратно 3 12)
кратно 57
13)
кратно 19 14)
кратно 8
15)
кратно 4
16)
кратно 9
17)
кратно
27 18)
кратно 4
19)
кратно 17 20)
кратно 81
21)
кратно 43 22)
кратно 16
23)
кратно 7
24)
n3+5n
кратно 6
25)
кратно 4
3. Решить уравнение и неравенство:
1) |3x-2|=0,3; |3x-5|-|2x+3|>0
2) |2x+2,5|=|x-3,3|; 2x -5|x|+3 0
3) |2x+3|=0,1; |x -5x|>|x |-|5x|
4) |x+4|=|x-4|; x -2|x|-3>0
5) |x+7|=|x-2|+|x-3|; x -4|x|+3>0
6)
x
-2|x|-3=0;
|x|
|x-2|
7) |sinx|=sinx+1; |x-5|<|x-1|
8) |2x+1|=3; |x-1|<|x+1|
9) |x-2|+|x-4|=3; |4x+5|<3
10)
; 
11)
;
|x2-4|<3x
12)
|x2-x-5|=1;
13) x2-|x|-2=0; |3x-2|>|2x+1|
14)
2(x-1)2+|x-1|-1=0; 
15)
x|x|+8x-7=0; 
16) |x-2|x-6x+8=0; x2-4|x|<12
17) x2-2|x-1|=2; |x+1|+|x-1| 2
18) |x+3|=x2+x-6; 2|x-3|+|x+1| 3x+1
19) |x2+x-1|=2x-1; |3x-2|x<1
20)
|x-1|+|x+2|-2x=1;
21)
;
|x2+x-2|>
22) |5-3x|=2x+1; 3x+|2-x| 5
23) x2-7=|3x-7|; 3x>2-|3-x|
24)
x|3x+5|=3x2+4x+3;
25)
|3x-8|-|3x-2|=6; 
Лабораторная работа № 3. Предел последовательности.
Опр.1. Пусть поставлено в соответствие вполне определенное число a (причем различным n могут соответствовать одинаковые числа). Совокупность элементов a , n=1,2,3… называется числовой последовательностью, каждый элемент a - элементом (членом) последовательности, n-его номер.
Опр.2.
Число
называется пределом последовательности
,
,
если для любого сколь угодно малого
действительного положительного
,
найдется такой номер
,
зависящий от
,
что |a
-a|<
при
.В
этом случае пишут
а
=а
или а
а
при n
.
Опр.3.
Последовательность
,
n
,называется ограниченной, если существует
действительное число с>0 , что |a
|<c
при
.
Пример 1. Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:
;
;
;
;
;…
Решение: числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс единица, т.е. n +1. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 3,8,13,18…. с первым членом x =3 и разностью d=5. Поэтому x =x +d(n-1)=5n-2.
Следовательно,
исходная формула а
=
.
ЗАМЕЧАНИЕ: знание нескольких первых членов последовательности еще не определяет эту последовательность.
Пример
2. Доказать,
что последовательность а
=(-1)
sin
n
ограничена.
Решение:
|а
|=|(-1)
sin
n|=|(-1)
|
|
|
|sin
n|
=2-
<2,
Отсюда, по опр.3. а -ограничена, с=2.
Пример
3. Непосредственно
доказать, что при
,
Решение: Необходимо доказать, что
Пример
4. Пользуясь
опр.2., доказать, что
а
=
,
если а
=
,
начиная с какого n
выполняется неравенство
| а - | <0,01.
Решение:
найдем | а
-
|
= |
-
|
=
.
Пусть >0 задано. Выберем так, чтобы выполнялось неравенство < .
Решаем
это неравенство: в силу 17
действительных чисел, будем иметь
5
-1>
>
.
Положив
=
[
]+1,
получим, что при
,
|a
-
|<
.
А
это означает в силу опр.2.
а
=
.
Пусть
=0,01,
тогда n
=[
]+1=
[
]+1=6
и все члены последовательности, начиная
с шестого, содержатся в U(
)
– окрестности точки
,
т.е. в интервале ]
[
=]0,59;0,61[.
ВАРИАНТЫ.
1.Найти 4-первых члена последовательности, если дана формула общего члена:
1)
a
=sin
(
) 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
2. Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
3. Доказать ограниченность последовательности:
1)
a
=
;
2)
a
=
;
3)
a
=
;
4)
a
=
;
5)
a
=
;
6)
a
=
;
7)
a
=
;
8)
a
=
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
an=sinn+
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23) ;
24)
;
25)
;
4.
Пользуясь опр.2. доказать, что
.
Начиная с какого n
выполняется неравенство |a
-a|
< 0,01:
1)
a
=
,
а=0 2)
a
=
,
а=3
3)
a
=
,
а=1 4)
a
=
5)
a
=
6)
a
=
7)
a
=
8)
a
=
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)