Варианты
1. Дана функция, найти ее значения в следующих точках:
1)
f(x)=arccos(2x-1)
2) f(x)=
f(0),
f(
),
f(1-a),
f(2)? f(-1),
f(1+a),
f(
),
f(
)?
3)
f(x)=
4)
f(x)=
f(1),
f(
),
f(-
),
f(4)?
f(2),
f(0),
f(0,5),
f(-0,5),
f(3)?
f(x)=
6) f(x)=
f(-
),
f(0),
f(
),
f(
)?
f(2),
f(0),
f(0,5),
f(-0,5),
f(3)?
7)
f(x)=
8) f(x)=arcsin
f(-1),
f(
),
f(
),
f(4),
f(6)?
f(0),
f(1),
f(
),
f(a)?
9)
10)
f(-1),
f(0),
f(-2),
f(2)?
f(0),
f
,
f
,
f(2)?
11)
12)
f(-1),
f
,
f
,
f(4)?
f(2),
f
,
f(-1),
f
?
13)
14)
f(0),
f(
),
f(
)? f(-1),
f
,
f
,
f(4)?
15)
16)
f(0),
f
,
f
,
f(a)? f(-5),
f(0),
f(2),
f(7)?
17)
18)
f(1), f(4), f(7), f(3)? f(-1), f(1), f(0), f ?
19)
20)
f
,
f(0),
f(
),
f(-
)? f(0),
f(2),
f(5),
f(8)?
21)
22)
f
,
f(a+2),
f
,
f
? f
,
f(3),
f(7),
f(-7)?
23)
24)
f(-1),
f(5),
f(-8),
f(2)? f(0),
f
,
f
,
f
?
25)
f(1), f(-1), f(0), f(a-7)?
2. Определить область определения функций:
1)
f(x)=
2) f(x)=
3)
f(x)=
4)
f(x)=lg
cosx
5)
f(x)=arcsin
6)
f(x)=
7)
f(x)=
+3arcsin
8) f(x)=
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
3. Найти область значений функции:
1)
f(x)=|x|+1 2)
f(x)=4
3)
f(x)=
4)
f(x)=1-2cosx
5)
f(x)=(x-1)
-2 6)
f(x)=2
-1
7)
f(x)=
8)
f(x)=-x
+8x-13
9)
f(x)=x2-2x 10)
f(x)=1-
11)f(x)=(x-3)2+9
12) f(x)=2
+3
13)f(x)=5cosx-3
14)
15)f(x)=3cos2x-2
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22) f(x)=|x|-5
23)
24)
25)
4. Установить четность и нечетность функций:
1) f(x)=tg(x-2), f(x)=xsinx
2) f(x)=|x+2|, f(x)=x lg cosx
3)
f(x)=x
-x,
f(x)=cos5x
4)
f(x)=x
-2,
f(x)=
5)
f(x)=sin(x-1),
f(x)=x
-2
6) f(x)=|x|+2, f(x)=x sinx
7)
f(x)=|x|-5e
,
f(x)=x
+5x
8)
f(x)=x
+2sinx,
f(x)=2
+2
,
9) f(x)=x3+2sinx+ctgx, f(x)=x2-6x+2,
10)
f(x)=-3x2+2cosx+3xsinx,
,
11)
f(x)=3x|x|-2sinx+3tgx,
,
12)
,
13)
,
14) f(x)=|x+5|+|x-5|, f(x)=|x+3|-|x-3|,
15) f(x)=5x4-3x2+1, f(x)=8x3-7x,
16)
,
17) f(x)=(x-1)2+(x+1)2, f(x)=(x-5)2-(x+5)2
18)
f(x)=x3-x+1,
,
19)
,
20)
,
21)
,
22)
,
23)
,
24)
.
25)
5. Построить график функции:
1)
y=2
-1 2)
y=
+1
3)
y=sinx+cosx 4)
y=2x+
5) y= -2cos(2x+1) 6) y=sin(3x-2)+1
7) y=2x+1+cosx 8) y=2sin(2x-1)
9)
10)
11)
12) y=x2-2|x|-3
13)
y=|x2+2x-3|
14)
15)
16)
17)
18) y=tg2x
19)
y=tg|x| 20)
21)
22) y=|x|+x
23)
y=x-1-|x-1| 24)
25) y=|3x-4|-x
Лабораторная работа №2. Действительные числа. Метод математической индукции. Абсолютная величина.
Опр.1. Числа 1, 2=1+1, 3=2+1,…n-1,n=(n-1)+1… называется натуральными. Таким образом, множество натуральных чисел может быть определено как наименьшее – числовое множество, содержащее число 1 и вместе с каждым числом n содержащее число n+1.
Метод математической индукции: если предложение, зависящее от натурального числа n:
а)
верно для некоторого начального значения
n=n
,
например, n=1;
б)
из допущения, что оно верно для n=k,
где k
n
произвольное натуральное число, вытекает,
что предложение верно и для n=k+1,
то предложение верно при любом натуральном
n
N.
Пример 1. Доказать, что верно равенство:
1
+2
+…+n
=
(1).
Решение:
1.
]
n=1,
тогда (1
=1)
(
=
=1),
1=1.
Действительно, равенство верно при n=1.
2. Допустим, что равенство (1) верно при n=k.
3. Докажем верность равенства (1)при n=k+1:
1 +2 +3 +…+k +(k+1) =(1 +2 +…+k )+(k+1) .
Т.к.
равенство верно при n=k,
то (1
+2
+…+k
)+(k+1)
=
+(k+1)
=(k+1)[
+(k+1)]=(k+1)
=(k+1)
.
Разложим 2k +7k+6 на множители, для этого найдем его нули:
2k +7k+6 =0
D=49-48=1>0
k
=
;
k
=
=-2,
k
=
=
-
Значит, 2k +7k+6= 2(k+2)(k+ )=(k+2)(2k+3)
Таким
образом, 1
+2
+3
+…+k
+(k+1)
=
,
Т.е. равенство (1) верно при n=k+1. Значит, это равенство верно при
n
N
Опр.2. Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы x R - действительными числами, если выполняется следующий набор аксиом: (см. В. А. Зорич «Математический анализ» стр. 45)
I. Аксиомы сложения (?).
II. Аксиомы умножения (?).
III. Аксиомы связи сложения и умножения (?).
IV. Аксиомы порядка (?).
V. Аксиомы связи сложения и порядка (?).
VI. Аксиомы связи умножения и порядка (?).
VII. Аксиомы полноты (?).
Опр.3.
Абсолютной величиной (модулем) числа
x
называется число |x|,
определяемое условиями: |x|=
Свойства абсолютных величин:
1.
,
|x|
0
2. , |x|=|-x|
3. , x |x|, -x≤|x|
4.
,
|x+y|≤|x|+|y|
5. , | |x|-|y| |≤|x-y|.
6. , |xy|=|x| |y|.
Неравенство
|x|≤
означает, что -
.
Неравенство
|x|
означает, что (x
.
Пример 2. Решить неравенства: а) |2x-1|<1,
б) |x -8x+12|>x -8x+12.
Решение: а) неравенство |2x-3|<1 равносильно неравенствам –
1<2х-3<1, откуда 2<2x<4 1<x<2.
Ответ: (1,2).
б) данное неравенство справедливо для тех значений х, при которых x -8x+12<0. Найдем нули квадратного трехчлена:
x -8x+12=0
(x
+x
=8)
(x
x
=12)
(x
=2)
(x
=6)
Таким образом, x -8x+12=(х-2)(х-6). Решаем методом интервалов:
Ответ: (2,6).
Пример 3. Имеет ли решение уравнение: |x|=x+5
Решение:
при х
0
имеем х=х+5, решений нет. При х<0 имеем
–х+х+5=0
,
х=
.
Это значение удовлетворяет исходному
уравнению.
Ответ: х= .