3. Критерий ребра

При переходе к безразмерной форме решения задачи о теплоотдаче прямого ребра более целесообразным было бы умножить и разделить выражение под корнем на квадрат высоты ребра h². В этом случае мы получим решение, включающее всего три безразмерных параметра, правда один из них будет совершенно новый.

, (3.1)

где - критерий ребра.

Физический смысл критерия ребра заключается в том, что он характеризует отношение теплового сопротивления теплопроводности самого ребра к тепловому сопротивлению теплоотдачи от поверхности ребра. Если тепловое сопротивление ребра больше теплового сопротивления теплоотдачи, то целесообразно уменьшить высоту ребра и увеличить его толщину. И наоборот, если тепловое сопротивление ребра меньше сопротивления теплоотдачи, то целесообразно увеличить поверхность ребра, сделав его более тонким и длинным. Если же тепловое сопротивление ребра приблизительно равно сопротивлению теплоотдачи, то форма ребра близка к оптимальной.

Отсюда следует, что при заданном поперечном сечении ребра должно существовать оптимальное значение критерия ребра, при котором достигается максимум тепловой нагрузки ребра. Само по себе существование оптимального соотношения высоты и толщины ребра при заданном поперечном сечении хорошо известно. В монографии Д. Керна и А. Крауса [2] приводится вывод этого соотношения.

На рисунке 1 приведены графики зависимости тепловой нагрузки ребра единичной ширины от значения критерия ребра. Расчеты проведены для трех значений поперечного сечения ребра: F= 0,001 м²; F= 0,0001 м²; и F= 0,00001 м² . Остальные параметры приняты равными:  =200 Вт/(мК);  = 10 Вт/(м²К); T_k = 25 С; T_g = 30 С.

К ак видно из графиков, оптимальное значение критерия ребра действительно существует. С практической точки зрения важно то, что хотя положение максимума на графиках формально и зависит от поперечного сечения ребра, и от коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи, но эта зависимости очень слабая. Поэтому можно утверждать, что оптимальное значение критерия ребра близко к 1.

Рис. 1.

Зависимость теплового потока у основания ребра (тепловой нагрузки ребра) от критерия ребра.

4. Теплоотдача ребра с учетом изменения температуры среды

Для того, чтобы учесть изменение температуры среды при теплоотдаче ребра, нам потребуется решить не одно дифференциальное уравнение, а систему дифференциальных уравнений для ребра и для газа, движущегося вдоль ребра.

Уравнение теплопроводности для прямоугольного ребра единичной ширины, омываемого газом, записывается также как и раньше, но температура газа здесь уже считается не константой, а некоторой функцией координаты:

(4.1)

Уравнение теплового баланса для элементарного объема газа, движущегося в пространстве между соседними ребрами можно записать в виде:

(4.2)

где G - расход газа в пространстве между ребрами, единичной ширины (кг/с);

С_р – теплоемкость газа.

Дополнив эти уравнения граничными условиями, получим систему дифференциальных уравнений, описывающих процесс теплоотдачи ребра. Для ребра граничные условия остаются такими же, как и прежде, а для газа, движущегося между ребрами, в качестве граничного условия зададим температуру газа на входе в теплообменный аппарат.

В операторной форме эта система уравнений принимает вид:

; (4.3)

. (4.4)

где S – оператор дифференцирования.

T_go – температура газа на входе в аппарат;

T_o – температура свободного конца ребра;

DT_o – значение производной от температуры по координате на свободном

конце ребра.

Разрешив полученную систему уравнений относительно T_g и T, получим решение этой системы уравнений в операторном виде:

; (4.5)

. (4.6)

Введем следующие обозначения:

; .

Перейдя к обычной форме решения, с учетом принятых обозначений, имеем:

. (4.7)

Условия на границах ребра определяют окончательный вид решения. Для участков, которые находятся со стороны набегающего потока и со стороны потока, уходящего с оребренной поверхности эти условия будут отличаться. Поэтому, при учете изменения температуры газа (среды), движущегося вдоль ребра, решение задачи будет зависеть от направления, в котором движется газ: навстречу тепловому потоку в ребре или, наоборот, спутно тепловому потоку в ребре.

На рисунке 2 приведена расчетная схема теплообмена ребра с движущимся газом, учитывающая изменение температуры газа в процессе теплообмена. Для определенности выбран случай охлаждения газа.

Рис. 2.

Расчетная схема теплообмена ребра с газом, учитывающая изменение температуры газа.

Рассмотрим в начале случай, когда газ в пространстве между ребрами движется в том же направлении, что и тепловой поток в ребре. В этом случае со стороны набегающего потока будем считать известными такие параметры:

- температура газа на удалении от ребер;

- температура основания ребра;

- тепловой поток на свободном конце ребра будем считать равным нолю.

Окончательное решение задачи в безразмерном виде в этом случае принимает вид:

, (4.8)

где - безразмерная температура ребра при параллельном движении газа, омывающего

ребро, и теплового потока в самом ребре;

- число единиц переноса, которое характеризует изменение температуры газа,

приходящееся на единичный температурный напор.

- температура газа набегающего на свободный конец ребра.

Безразмерная температура газа, движущегося между ребрами, при спутном направлении теплового потока находится аналогично - путем перехода от операторной формы к обычной форме уравнения, описывающего температуру газа (4.6):

, (4.9)

где - безразмерная температура газа, движущегося вдоль ребра со спутным

тепловым потоком;

На рисунке 3 приведены графики зависимости температуры ребра и температуры газа от безразмерной координаты. При расчетах приняты следующие значения входящих в уравнения переменных: Kr=0,3; NTU=3,2; T_go=35 C; T_k=25 C.

Р ис. 3.

Зависимости температуры ребра и температуры газа от безразмерной координаты

(направления теплового потока и движения газа совпадают).

В случае, когда газ движется навстречу тепловому потоку в ребре, будем считать известными такие параметры:

- температура основания ребра;

- тепловой поток на свободном конце ребра будем считать равным нолю;

- температура газа у основания ребра, которую мы принимаем равной значению температуры газа у основания ребра из предыдущей задачи, в которой направления теплового потока и движения газа совпадают.

Для определения безразмерной температуры газа при встречном движении газа и теплового потока нам придется снова отыскать решение для уравнения, описывающего температуру газа, который движется между ребрами (4.6). Единственное отличие от ранее полученного выражения (4.9) заключается в том, что расход газа входит в это уравнение с отрицательным знаком, а, следовательно, и знак перед числом единиц переноса изменится на противоположный:

. (4.10)

где - безразмерная температура газа, движущегося вдоль ребра с встречным

тепловым потоком;

- температура газа уходящего от свободного конца ребра.

Однако полученное выражение не позволяет нам найти истинное значение температуры ребра, так как нам неизвестно значение температуры газа, уходящего из теплообменного аппарата. Поэтому мы воспользуемся уже полученными решениями для того, чтобы найти эту температуру.

Из уравнения (4.9) получим выражение для температуры газа у основания ребра:

. (4.11)

Подставив полученное выражение для температуры газа у основания ребра в уравнение (4.10), и решив его относительно температуры газа, уходящего со свободного конца ребра, получим следующее выражение:

. (4.12)

Подставив полученное значение температуры газа, уходящего со свободного конца ребра, в уравнение (4.10) можно определить истинное значение температуры газа движущегося навстречу тепловому потоку в ребре.

Поменяв знаки перед числом единиц переноса, в уравнение (4.8), получим выражение для безразмерной температуры ребра:

. 4.13)

Подставив полученное значение температуры газа, уходящего со свободного конца ребра, в уравнение (4.13) определим истинное значение температуры ребра в том случае, когда газ движущегося навстречу тепловому потоку в ребре.

На рисунке 4 приведены результаты расчетов для температуры газа и температуры ребра на участке, где направления теплового потока движения газа противоположны. При расчетах приняты следующие значения входящих в уравнения переменных: Kr=0,3; NTU=3,2; T_go=35 C; T_k=25 C.

Р ис. 4.

Зависимости температуры ребра и температуры газа от безразмерной координаты

(направления теплового потока и направление движения газа противоположны)

На рисунке 5 приведены графики, на которых объединены результаты расчетов для двух вышерассмотренных случаев: когда направления теплового потока и движения газа совпадают и противоположны. Значения безразмерной координаты большие единицы естественно являются условными. Графики дают наглядное представление об изменении температуры газа и температуры ребра в теплообменном аппарате.

Нетрудно убедиться, что при движении газа вдоль ребра в теплообменном аппарате, его температура изменяется неравномерно и распределение температур вдоль ребра сильно зависит от направления движения газа относительно ребра. Это объясняется тем, что кажущаяся теплопроводность ребра, при параллельном направлении движения газа и теплового потока в ребре, получается больше чем при встречном движении теплового потока и газа, омывающего ребро. Более подробно представление о кажущейся теплопроводности среды, через которую проходит газ, изложено в работе [3].

С практической точки зрения для нас важно знать не распределение температур в ребре, а тепловую нагрузку ребра. Но это теперь не представляет труда. По известному распределению температур в ребре, мы всегда можем найти градиент температур у основания ребра, а, следовательно, и тепловой поток в основании этого ребра.

Так как кажущиеся теплопроводности по-разному ориентированных ребер существенно отличаются, то неудивительно, что и оптимальная высота по-разному ориентированных ребер будет отличаться.

Задавшись целью оптимизировать высоту ребер и получить максимальное значение суммарной тепловой нагрузки, мы зафиксировали сумму высот противоположно направленных ребер и варьировали высоту одного из них. На рисунке 6 приведен результат такой оптимизации. Суммарная высота ребер принята равной 40 мм. Остальные параметры остались прежними: Kr=0,3; NTU=3,2; T_go=35 C; T_k=25 C.

Как видно из графиков, суммарный тепловой поток в основаниях двух ребер имеет максимум. Но самое важное заключается в том, что тепловая нагрузка ребер достигает максимума при разной высоте ребер. В данном случае получилось, что оптимальная высота ребра, у которого свободный конец направлен по направлению движения газа, примерно в три раза меньше высоты ребра со свободным концом направленным против движения газа ( 24% и 76% соответственно).

Р ис. 5.

Графики, на которых объединены данные для случаев, когда направления теплового потока и движения газа совпадают и противоположны.

При этом суммарная тепловая нагрузка ребер получается на 10,5% больше тепловой нагрузки двух одинаковых ребер с такой же общей высотой.

Типичной конструкцией теплообменного аппарата для охлаждения воздуха является конструкция, показанная на рисунке 7. Такой теплообменный аппарат представляет собой ряд труб, на которые насажены ребра выполненные в виде прямоугольных пластин. Свободные концы труб коммутируются при помощи припаянных к ним калачей. В стандартной конструкции теплообменного аппарата отверстия под трубы прошиваются посередине ребер.

Основной практический вывод, который вытекает из предложенной работы, заключается в том, что отверстия в ребрах необходимо прошивать не посередине, а несколько смещенными в ту или другую сторону. Такое изменение конструкции аппарата не потребует увеличения расхода материалов и легко реализуется, давая при этом вполне заметное повышение эффективности работы аппарата.

Р ис. 6.

Зависимость абсолютной величины градиента температур в основании ребра от высоты ребра и суммы градиентов температур в основаниях двух противоположно направленных ребер.

Направление смещения отверстий в ребрах зависит от направления теплового потока в ребре, или, что то же самое, - от назначения теплообменного аппарата. Если газ в теплообменном аппарате нагревается, то отверстия в ребрах смещаются навстречу движению газа в аппарате. И, наоборот, если происходит охлаждение газа в теплообменном аппарате, то смещение ребер необходимо проводить по направлению движения газа. Оптимальная величина смещения зависит от многих параметров и должна определяться в результате расчета.

Остается добавить, что реальное течение газа в теплообменном аппарате только в первом приближении можно считать одномерным. Поэтому для более точного определения оптимальной конструкции необходимо проводить расчеты с учетом движения газа в двух или даже трех измерениях. Результаты расчетов, безусловно, должны сверяться с результатами соответствующих экспериментальных исследований. Поэтому, целью данной работы является не окончательное решение данного вопроса, а послужить толчком для дальнейших экспериментальных и теоретических исследований в этом направлении.