1.27 Сурет

Сондай ЭҚК осы түйінде тоғысқан тармақтарға да енгізеді. Сондықтан «ав» тармағындағы қорек көзі жойылады (1.27 сурет), ал контурлық ЭҚК өзгеріссіз қалады.

Осыдан ЭҚК көздерін ауыстыру ережесі шығады: ЭҚК көзін схеманың бір тармағынан басқа тармағына ауыстыруға болады, егер осы тармақтар бір түйінде қосылса және схемадағы токтар өзгермесе.

Кері ережесі келесідей: бір түйінде тоғысқан барлық тармақтардың ЭҚК көздерінің бағыттары мен шамалары бірдей болса, біреуін санамағанда, онда 1.28 суретінде бейнеленген барлық қорек көздері бір қорек көзімен ауыстырылады және ол қорек көзі болмаған тармаққа қосылады.

а) б)

1.28 Сурет

Контурлық токтар әдісі

Контурлық токтар әдісін қолдану

Контурлық токтар әдісі негізгі әдістердің біреуі болып саналады және ол тұрақты және айнымалы токтың сызықты тізбектерінде қолданылады.

Әдістің маңызы болып, ізделулі белгісіз шамалар ретінде тізбек тармақтарындағы нақты токтар қарастырылмайды, ал шартты контурлық токтар деп аталатын токтар алынады. Контурлық токтардың саны тізбектегі тәуелсіз контурлардың санына тең және тармақтардағы токтардың санынан аз болады. Сондықтан, контурлық токтар әдісін қолданған кезде Кирхгофтың екінші заңы бойынша жазылған теңдеулер жеткілікті. Контурлық токтар әдісін контурлардың саны шамалы тізбектер үшін және де ток көзі бар тізбектер үшін қолданған дұрыс.

Негізгі есептеу қатынастарын шығару үшін тармақтарында ЭҚК көздері бар тұрақты токтың тізбегін қарастырайық (1.29 сурет), онда 3 тармақ және 2 түйін бар.

1.29 Сурет

Берілген тізбек үшін тәуелсіз контурлардың саны 2 тең. I₁₁ және I₂₂ контурлық токтардың бағыттарын стрелкамен көрсетеміз. Әр контур үшін Кирхгофтың екінші заңы бойынша теңдеулер жазамыз. Көршілес тармақтағы (R₂ кедергісі) токтың (I₁₁  I₂₂) бағыты үстінен астына қарай бағытталған, яғни I₁₁ контурлық тогы бойынша бағытталған. R₁ және R₃ тармақтарында I₁₁ және I₂₂ токтары орын алады. Онда бірінші контур үшін теңдік былай көрсетіледі

R₁ I₁₁ + R₂ (I₁₁ – I₂₂) = E₁ + E₂.

екінші контур үшін

R₃ I₂₂ – R₂ (I₁₁ – I₂₂)= – E₂ – E₃.

Онда 1.29 суретіндегі схема үшін теңдеулер келесідей

(1.17)

Жаңа белгілеулерді енгіземіз

R₁ + R₂ = R₁₁ – 1 контурдың өзіндік кедергісі;

– R₂ = R₁₂ = R₂₁ – 1 және 2 контурдың жалпы кедергісі;

R₂ + R₃ = R₂₂ – 2 контурдың өзіндік кедергісі;

E₁ + E₂= E₁₁ – 1 контурдың контурлық ЭҚК;

– E₂ – E₃ = E₂₂ – 2 контурдың контурлық ЭҚК.

Онда теңдеулер жүйесі бойынша кез-келген тізбектің контурлық теңдеулерін аламыз

(1.18)

Матрица түрінде

, (1.19)

мұнда – п өлшемді контурлық кедергілердің квадраттық матрицасы ;

[I_k]= – контурлық токтардың бағана матрицасы;

[E_k]= – ЭҚК бағана матрицасы.

(1.18) теңдеулерін қолмен шығаруға болады, бірақ n > 3 болған кезде есептеулер қиынға әкеледі, сондықтан оларды Крамер әдісі бойынша анықтауыштар арқылы есептеген дұрыс.

Жүйенің анықтауышы

Контурлық токтар

I₁₁= ;

I₂₂= ;

………………………

I_nn= ;

Бағана элементтері бойынша анықтауышты жіктейміз

, (1.20)

ЭЕМ қолданған кезде контурлық токтарды (1.19) формуласымен есептеген дұрыс

[I_k]=[R_K^-1]*[E_K], (1.21)

мұндағы [R_K^-1] – [R_K]* [R_K^-1]=[1] шартына сәйкес келетін контурлық кедергінің қарсы матрицасы.

Қарастырылатын тізбекте шектелген қуаттың ток көздері болса, онда баламалы ЭҚК көзімен ауыстыруға болады. Егер тізбекте шексіз қуаттың ток көздері болса, онда осы токтарды контурлық токтар ретінде алған дұрыс, өйткені контурлық токтардың сәйкесінше теңдеулердің саны азаяды.

Тізбектердің контурлық теңдеулерін қалыптастыру үшін топологиялық матрицаларды қолдану.

Резисторлары мен ЭҚК көздері бар b тармақтардан және m тәуелсіз контурлардан тұратын электрлік тізбекті қарастырайық.

Тізбектің әр тармағын өзіне тұйықталған қарапайым тізбек ретінде қарастырайық. Осы қарапайым тізбектердің жиынтығын Кирхгофтың екінші заңы бойынша кернеулер теңдігінің матрицалық теңдеуін келесідей жазамыз

= X ,

немесе қысқартылған түрде келесі формуламен есептелінеді

[E_b]=[R_b]*[I_b]. (1.22)

Әрі қарай қарастырылатын тізбектің топологиясы қосылудың тікбұрышты контурлы матрицасымен бенеленеді [B].

Тармақтың токтары мен контурлық токтар келесі қатынаспен байланысқан

[I_b]=[ B^T]*[ I_k], (1.23)

[В^т]- транспонирланған матрица [В];

[I_k]- контурлық тоқтың бағана матрицасы.

Инвариантты (өзермейтін) қуаттың принципі бойынша аламыз

[E_b] [ I_b]= [E_k] *[ I_k], (1.24)

мұндағы [E_k] – контурлық ЭҚК-нің бағана матрицасы. (1.23) ескеріп (1.24) формуласынан аламыз

[E_b]* [ B^T]* [ I_k]= [E_k]* [ I_k]. (1.25)

Қосылудың контурлық матрицасынан келесіні аламыз

[E_k]= [ B]* [E_b], (1.26)

немесе

[E_b]= [ B^-1]* [E_k], (1.27)

мұндағы [ B^-1] – [B] – ға кері матрица.

(1.23) пен (1.27) -ні (1.22) қойып аламыз

[ B^-1]* [E_k]=[R_b]* [ B^T]* [ I_k],

сол жағындағы барлық бөліктерді [В] матрицасына көбейтіп келесіні аламыз

[E_k]= [ B]* [R_b]* [ B^T]* [ I_k],

мұндағы [R_k] – қарастырылатын тізбектің контурлық кедергілерінің квадраттық матрицасы.

Соңында келесі өрнекті аламыз

[R_k]= [ B]* [R_b] [ B^T], (1.28)

тізбектің матрицалық контурлық теңдеуін аламыз

[E_k]= [R_k]* [ I_k]. (1.29)

(1.29) формуласы (1.19) теңдеуімен дәл сәйкес келеді.

Екі түйін және түйіндік потенциалдар (кернеулер) әдістері. Потенциалдық диаграмма

Түйіндік потенциалдар (кернеулер) әдісі

Сызықты тізбектерді есептейтін бұл әдіс Кирхгофтың бірінші заңына және Ом заңына негізделген. Түйіндік потенциалдар әдісін түйіндердің саны тармақтардың санынан аз болатын тізбектер үшін қолданған дұрыс және де бұл әдіс тек қана идеалды ЭҚК көздері бар схемалардың тармақтарындағы токтарды табу үшін ыңғайлы (1.30, а сурет). Бұл схемада 4 түйін (у=4) және 7 тармақ (b=7) бар.

Бұл әдіспен схеманы есептегенде бір түйіннің потенциалын нөлге тең деп қабылдаймыз және оны базистік деп атаймыз. Осы кезде тізбектегі токтың таралуы өзгермейді, өйткені қосымша тармақ пайда болмайды. Схеманың басқа түйіндеріндегі ізделулі потенциалдар – бұл базистік кернеуі бойынша олардың кернеулері, сондықтан бұл әдісті түйіндік кернеулер әдісі деп атайды (кернеу – бұл потенциалдар айырымы).

1

4

Егер схемада тек қана ЭҚК бар тармақ болса, онда осы тармақ жалғанған түйіннің біреуін нөлге тең деп алады.

Мысалы бірінші түйіннің потенциалын φ₁ нөлге тең деп аламыз,

φ₁ = 0 – базистік түйін, онда екінші түйіннің потенциалы φ₂ = Е₂ тең.

Белгісіз болып үшінші φ₃ және төртінші φ₄ түйіндердің потенциалдары қалады. Оларды анықтау үшін теңдеулер келесі алгоритм бойынша құрастырылады:

1) қарастырылатын түйіннің потенциалы (φ_К) берілген түйінге келетін тармақтардың өткізгіштіктерінің қосындысына көбейтіледі;

2) осы көбейтіндіге теріс таңбамен, көршілес түйіндердің потенциалдарын қарастырылатын түйінмен қосатын тармақтардың өткізгіштіктеріне көбейтіп жазамыз;

3) теңдеудің оң жағында тармақтардағы ЭҚК мен өткізгіштіктердің көбейтіндісінің алгебралық қосындысы және қарастырылатын түйінге қатысты ток көзі токтарының алгебралық қосындысы жазылады, осымен қатар ЭҚК мен ток көзінің токтары түйінге қарай бағытталса “плюс” таңбасымен, ал түйіннен бағытталса “минус” таңбасымен алынады

(1.30)

мұндағы - тармақтардың өткізгіштіктері.

φ₂ = Е₂ ескеріп (1.30) жүйесін қайта жазамыз

(1.31)

мұндағы ; - қарастырылатын түйінге келетін тармақтардың өткізгіштіктерінің қосындысына тең болатын түйіндердің өзіндік өткізгіштіктері;

- 3 және 4 түйіндердің өзара өткізгіштігі.

(1.31) жүйесінен белгісіз φ₃ және φ₄ потенциалдарын анықтаймыз. Түйіндердің анықталған потенциалдары бойынша Ом заңымен тармақтардағы токтарды анықтаймыз

(1.32)

.

Токтарды есептеудің (1.32) формуласындағы токтар түйіндерден бағытталса, онда түйіндердің потенциалы «плюс» таңбасымен, ал токтар түйіндерге қарай бағытталса, онда олар «минус» таңбасымен кіреді. ЭҚК Е бағыты тармақтағы токтың бағытымен сәйкес келсе , онда ол «плюс» таңбасымен алынады. Әдетте, есептеулерде токтың оң бағытын ерікті алады. Егер есептеулер нәтижесінде ток теріс таңбамен шықса, онда оның нақты бағыты алынған бағытқа қарама - қарсы болады.

Ток көзінің қыспақтарындағы кернеу

.

Е₂ ЭҚК тармағындағы I₆ тогы Кирхгофтың бірінші заңы бойынша есептелінеді

I₆ = - I₁ + I₅

Ток I₇ = J.

Екі түйін әдісі

Параллель қосылған кезде екі түйін арасында бірнеше тармақ орналасады, осы кезде барлық тармақтардағы кернеу бірдей болады ( 1.30,б сурет).

I₁

a

E₁

J

φ_b = 0 – базистік түйін деп аламыз, ал "а" түйінінің φ_а потенциалы белгісіз болады. φ_а потенциалын анықтау үшін теңдеу келесідей

мұндағы - тармақтардың өткізгіштіктері.

Схеманың екі түйіні арасындағы кернеу келесі формула бойынша анықталады

. (1.33)

U_ab кернеуінің мәнін біліп Ом заңы бойынша тармақтардағы токтарды анықтаймыз (токтардың оң бағыты ерікті алынады)

Осы формулаларға U_ab кернеу мен ЭҚК «плюс» таңбасымен кіреді, егер олардың бағыттары тармақтардағы токтармен сәйкес келсе.

Ток көзіндегі кернеу

U_J = φ_a – φ_b = U_ab

Потенциалдық диаграмма

Потенциалдық диаграмма – Кирхгофтың екінші заңының графикалық түрде бейнеленуі. Ол тұйық контур үшін салынады және есептеулердің дұрыстығын тексереді: диаграмманың басы мен соңының потенциалдары бір нүктенің потенциалдары сияқты сәйкес келуі керек. Диаграмма салына бастайтын нүктенің потенциалын нөлге тең деп алады. Ол үшін тік өсі бойынша тізбектің кедергілері салынады, ал көлденең өсі бойынша схемадағы нүктелердің потенциалдары салынады. Егер токтардың бағыттары айналу бағытпен сәйкес келсе, онда кедергілердегі кернеудің кемуі «плюс» таңбасымен ескеріледі және ЭҚК бағыты айналу бағытпен сәйкес келсе, ол да «плюс» таңбасымен алынады.

1.31, а суретіндегі схема үшін потенциалдық диаграмма келесідей салынады.

"а" нүктенің потенциалы нөлге тең болсын φ_a = 0, онда

φ_b = φ_a – I₁R₁; φ_с = φ_b + E₁; φ_d = φ_c – I₂R₂;

φ_e = φ_d – E₂; φ_f = φ_e – I₃R₃; φ_a = φ_f + E₃ = 0.

Әрі қарай нүктелердің анықталған потенциалдары бойынша потенциалдық диаграмманы саламыз (1.31, б сурет)