Электрическая цепь синусоидального тока с емкостью

В экспериментальной установке включим в цепь набор конденсаторов (рис. 1, а). Считаем источники и конденсатор идеальными. Емкость составляет 106 мкФ. Приборы показывают те же самые показания, что и для установки с индуктивностью. Только изменился знак реактивной мощности. Если по аналогии с активным сопротивлением выразить сопротивление емкостей Х_С, то оно тоже составит 30 Ом.

Рис. 1.

Для постоянного тока оно бесконечно большое. В цепи с емкостью имеем два тока: в проводах, соединяющих конденсатор и емкость, - ток проводимости, в диэлектрике между пластинами конденсатора - такой же емкостной ток (ток смещения). Поскольку q = CU, а ток  , то чем больше C, U_m и скорость изменения заряда q (которая зависит от частоты  ), тем больший по амплитуде будет переменный ток i(t):

Выразим i(t) через U(t). Примем начальную фазу  , т.е.  . Тогда:

Когда  , 

Выпишем отдельно полученные тригонометрические функции:

где

или для действующих значений,

,

где множитель   - модуль емкостной проводимости B_C (Ом^-1)

Обратная ей величина - модуль емкостного сопротивления Х_С (Ом):

которое для установки (рис. 1, а) составляет 120 В / 40 А = 30 Ом. Те же 30 Ом получим из указанной выше формулы, подставив   = 314 и С = 106 мкФ. Заменим временные функции символическими векторами:

Вектор   (рис. 1, в) совпадает по направлению с действительной осью,   опережает напряжение на угол  . Отношение   к   дает комплексное   (в данном случае емкостное - jX_C) сопротивление:

,

поскольку  . Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости С и частоте  . Мгновенная мощность равняется

Активная мощность - нулевое среднее значение заштрихованной на рис. 1, в синусоиде p(t) удвоенной частоты: в первую четверть периода зарядный ток и напряжение на емкости совпадают по направлению, электрическое поле увеличивает энергию CU² / 2, забирая ее у источника, емкость в режиме потребителя; во вторую четверть ток разряда емкости изменяет свое направление, энергия конденсатора уменьшается, потому что конденсатор разряжается на источник, который перешел сам в режим потребителя; далее происходит перезарядка конденсатора напряжением источника противоположного знака и, в последнюю четверть, - разрядка перезаряженного конденсатора. Прибор, измеряющий реактивную мощность Q, показывает Q_C = - 480 (ВАР). Дело в том, что прибор измеряет не просто амплитуду UI колебаний реактивной мощности, а значение  , где  . В случае с индуктивностью  ; с емкостью  . Поэтому принято считать, что Q_L > 0, а Q_C < 0.  Закон Ома для электрической цепи синусоидального тока с емкостью:

где комплексное сопротивление   равняется мнимой величине - jX_C, что является емкостным сопротивлением.  Энергия W_C электрического поля конденсатора (рис. 1, в), как и катушки индуктивности, имеет пульсирующий характер.

Анализ электрических цепей синусоидального тока с rlc-элементами

Электрическая цепь синусоидального тока с реальной катушкой индуктивности

Если в катушке индуктивности учесть активное сопротивление R обмотки или присоединить реостат, то ее схема замещения будет соответствовать (рис. 1).

Рис. 1.

По второму закону Кирхгофа будем иметь:

Пусть  . Тогда можем записать:

где  .

Как видим, напряжение на индуктивности сдвинуто на угол   относительно напряжения на активном сопротивлении. Определим их сумму:

где

- модуль Z полного комплексного сопротивления  ,

- угол сдвига между напряжением U и током i в RL-цепи,

- амплитуда напряжения в RL-цепи.

Значительно проще получим искомые величины символическим методом:

где

- комплексное сопротивление, которое может иметь алгебраическую и показательную формы:

,

где угол   определим по формуле  , а модуль Z по

 

Символический комплекс напряжения

Вектор   имеет две составляющие: активную   и реактивную   Активная по направлению совпадает с током  , реактивная - опережает его на угол  . Вместе эти напряжения образуют треугольник (рис. 2, а, б) напряжений

 или  .

Рис. 2.

Треугольники подобные, поскольку все стороны помножить или поделить на одно и то же число. Поделив последнее выражение на   получим формулу   и соответствующий ей треугольник (рис. 2, а). Комплексный вращающийся вектор, равняется:

Мгновенное значение напряжения, составит:

где   совпадает с  , поскольку  . На рисунке 2, в приведен график U(t) с начальной фазой   = 0. Начальная фаза рассчитывается как наименьший отрезок оси   от точки, где функция переходит из минуса в плюс, до начала координат. Графики (Рис. 2, г) активной U_a(t) и реактивной U_p(t) составляющих U(t) соответствуют уравнениям

Мгновенное значение мощности в RL-цепи

имеет две составляющих (рис. 2, в): постоянную   которая равняется активной мощности Р, и синусоидальную удвоенной частоты и амплитуды  . На участках, где p(t) отрицательная, энергия возвращается источнику. Чтобы лучше выделить активную и реактивную составляющие пульсирующей мощности, разложим  :

Обозначим   где S - амплитуда пульсации мощности. Тогда получим:

Графики пульсаций активной   и реактивной и реактивной  составляющих мгновенной мощности p(t) показаны на рисунке 2, г. Активная и реактивная мощности, соответственно,

Полная мощность S = UI, в комплексной

или скалярной форме

Если воспользоваться понятием комплексно-сопряженного к   величине   или

, то комплекс   полной мощности определяется непосредственно через символические комплексы   и  :

В некоторых случаях, например при вычислении эквивалентных параметров обмотки намагничивания трансформатора по экспериментальным данным, вместо схемы (рис. 1) используют эквивалентную ей параллельную (рис. 3) с такими параметрами R_e и L_e, что токи и напряжение в обоих схемах одинаковы.

Рис. 3.

Символические комплексы действующих значений токов:

где G_e = R_e^-1 активная проводимость ветви с сопротивлением R_e;   - индуктивная проводимость ветви с индуктивностью.

Ток в неразветвленной части цепи

где

 - комплексная проводимость двух параллельных ветвей;

На рисунке 4, б приведена векторная диаграмма токов, из которой видно, что ток   совпадает по фазе с напряжением U; ток   - отстает по фазе на угол  , а ток I отстает на угол  .

Рис. 4.

На рисунке 4, а построен треугольник проводимостей. Его можно получить, если поделить каждую сторону треугольника токов на напряжение  .

Установим связь между параметрами R, L последовательного соединения элементов (рис. 1) и параметрами R_eL_e параллельного соединения (рис. 3):

то есть

Или, наоборот, при условии

получим

Отношения   или   называется добротностью катушки индуктивности.