Способы изображения синусоидальных электрических величин

Синусоидальные электрические величины могут быть представлены различными способами.

1. Аналитически - как тригонометрические функции времени; 2. Графически - как проекция вектора (рис. 1)  , вращающегося с угловой скоростью   (радиан в секунду), на вертикальную ось. Изменяя аргумент   от нуля до  , рассмотрим проекцию   на вертикальную ось и строим график (рис. 1, б) функции e(t) в координатах   или (t, e). 3. Векторный способ изображения состоит в замещении нескольких синусоидальных функций, например   и их суммы e(t) (рис. 2) векторами   и  . Тогда, чтобы определить e(t), достаточно векторно сложить   по правилу параллелограмма. Вектор   будет иметь соответствующую длину (модуль) и угол наклона   к горизонтальной оси (начальную фазу). По параметрам   ,   и   определяется вычисляемая зависимость  . Таким образом можно складывать любое количество синусоид одинаковой частоты и разных начальных фаз и амплитуд. Векторное сложение синусоидальных электрических величин невозможно, если их частоты различны.

Рис. 1.

Рис. 2.

Комплексный метод описания синусоидальных электрических величин

На горизонтальной оси координат комплексной плоскости отмечают действительный части комплексных чисел, на вертикальной - мнимые. Первая из них обозначается знаком "плюс" или буквами Re (relative - реальный, действительный); вторая буквами j или Im (imenginame - мнимый). Комплексное число   на комплексной плоскости изображается точкой или вектором с двумя координатами (a, jb):

Черточкой внизу обозначаются комплексные числа,   Так синусоиду, которая изображена на рис. 1 вектором  , который вращается со скоростью   радиан в секунду и в момент времени t = 0 имеет начальную фазу  , выражается комплексом  , который имеет два компонента: действительную часть   и мнимую часть  :

(1)

Рис. 1.

Эта же запись по формуле Эйлера, связывающей тригонометрическую и показательную формы чисел:

 (2)

таким образом получаем более простое выражение. Подставим (2) в (1), когда  :

Комплекс   (рис. 2, а) называется символической формой изображения комплекса   Комплекс   - это единичный радиус-вектор, который вращается со скоростью   и имеет нулевую начальную фазу (рис. 2, б):

 (3)

 (4)

Рис. 2.

Во время линейных превращений вектор   будет присутствовать во всех частях. Его можно вынести за скобки и расчеты проводить только для символьных частей   комплексов  . Например, сложим две синусоиды

,

пользуясь комплексным методом:

Чтобы сложить два символьных комплекса, которые в скобках, нужно перевести их из показательной формы   в алгебраическую. Между ними существует зависимость:

. (5)

Таким образом,

Тогда

Чтобы сложить (вычесть) два комплексных числа, необходимо отдельно сложить (вычесть) их действительные части и мнимые части:

Умножив полученное значение символьного вектора   на единичный вектор  , получим выражение для суммы двух синусоид, выраженных комплексами   и  . Мгновенное значение e(t) определяемой суммы равняется мнимой части (Im) вектора  :

или

Комплексы одной частоты вращаются относительно неподвижной плоскости (рис. 3, а) с одинаковыми угловыми скоростями  . Их взаимное расположение остается неизменным. Можно считать, что эти векторы неподвижны, а плоскость вращается со скоростью   (рис. 3, б). Тогда все расчеты выполняют символическим методом с символической (неизменной) частью   комплексов   Переход к временным функциям выполняют по формуле (5).

Рис. 3.

Энергетической моделью синусоидального тока, напряжения, ЭДС является действующее значение. Т.е. такие значения постоянного тока I, напряжения U, ЭДС, которые (согласно закона Джоуля-Ленца) приводят к выделению теплоты в сопротивлении R так же, как и соответствующие синусоидальные токи, напряжения, ЭДС.

Энергия, которая потребляется сопротивлением R за период T, для синусоидального тока равняется площади под кривой (рис. 4, в):

,

которая взята за период Т.

Рис. 4.

Поскольку cos2wt функция симметричная, то ее площади с "плюсом" и с "минусом" взаимо сокращаются. Тогда энергия за период, которая выделится на сопротивлении R при синусоидальном токе, составит   и по условию эквивалентности будет равняться энергии I²RT постоянного тока. Отсюда имеем соотношение:

Во время расчетов, кроме амплитудных, пользуются скалярными I, U, E и векторными   действующими значениями. Для анализа устройств выпрямления важны средние по полупериоду значения тока, ЭДС и напряжения:

Отклонения формы периодической электрической величины от синусоиды выражают коэффициентом амплитуды К_а и формы К_ф:

Временные диаграммы периодических ЭДС приведены на рис. 4 а - синусоидальной; б - треугольной; в - прямоугольной. Для синусоиды

Для электрических величин кривые, которые имеют более острую форму, чем синусоида, коэффициенты составляют К_а > 1,41 и К_ф < 1,11. Для кривых более плоской формы К_а < 1,41 и К_ф > 1,11(рис. 4, б, в). Отклонения значений коэффициентов К_а и К_ф от 1,41 и 1,11 регистрируется по показаниям электроизмерительных приборов амплитудных, действующих и средних значений.