Расчет электрических цепей методом узловых потенциалов

Из m уравнений системы можно получить n-1 уравнений узловых потенциалов, если воспользоваться уравнениями первого закона Кирхгофа и понятием проводимости.

Потенциалы узлов схемы считаются независимыми переменными. Один из них принимается равным нулю. Метод целесообразно использовать, когда (n-1)<(m-(n-1)). Количество узлов можно уменьшить (рис 1.), если заменить источник тока (рис 1, а) и параллельную ему ветвь эквивалентным реальным источником напряжения (рис 1, б).

Рассмотрим уравнения метода, используя неупрощенную схему (рис 1, а).

Рис. 1

Пусть   токи   (принимаем направление тока от большего потенциала к меньшему, поэтому  );

Подставив эти выражения в два первых уравнения Кирхгофа, будем иметь:

или относительно   и  :

Уравнения в общем (стандартном для метода) виде запишем таким образом:

G_ii равняется сумме проводимостей ветвей, которые присоединены к i-му узлу; G_iJ равняется сумме проводимостей ветвей, которые соединяют i-й и j-й узлы; i, j = 1,..., n - 1. Правые части равняются алгебраической сумме ЭДС, умноженной на проводимость ветвей, которые присоединены к узлу; ЭДС входят в уравнение со знаком "+", если направлены к узлу, со знаком "-", если направлены от узла; ток J источника переходит из левой в правую часть уравнения с обратным знаком (в нашем случае от узла J - со знаком "-"); если i-й и j-й узлы не связаны, то G_ij = 0; если в i-м узле нет ветвей с ЭДС или источниками тока, то (знак суммы)I = 0. 

Алгоритм метода узловых потенциалов:

1. Пронумеровать узлы схемы, приняв   для n - го узла.

2. Задаться направлениями токов.

3. Записать и решить относительно (фи) систему уравнений.

4. На основании закона Ома, по найденным потенциалам и заданными проводимостями, найти токи в ветвях.

Для схемы (рис 1, б) после предварительного преобразования, приняв  , вместо двух получим одно

уравнение:

Отсюда

Это выражение в общей форме известно как формула двух узлов:

Она используется для вычисления напряжения U₁₂ на выходе n параллельно включенных источников ЭДС.

Переменный ток. Электрические цепи переменного (синусоидального) тока Синусоидальный ток и его генерация

Благодаря простоте генерирования, передаче электроэнергии на большие расстояния посредством повышения напряжения источника и понижения его у потребителя синусоидальный ток и напряжение широко используются как в сильноточных (энергетических), так и в слаботочных (электронных) системах. Энергосистема - это совокупность источников, потребителей, линий электропередачи и вспомогательных элементов (управляющих, контрольных, измерительных и др.). Энергосистема имеет сложную сетевую структуру иерархического типа: энергия от источников через повышающие напряжение трансформаторные подстанции подается в сеть высоковольтных линий электропередачи, размещенных на обширной территории; в базовых пунктах она трансформируется в низковольтную и потребляется. Трансформация также имеет иерархический характер: из высокой - в низшую, передача на меньшие расстояния; далее из низшей в еще более низшую и опять передача на еще меньшие расстояния.

Синусоидальный ток можно получить согласно закона электромагнитной индукции, если рамку с током (рис. 1, а) равномерно вращать в постоянном магнитном поле. 

Рис. 1.

Концы рамки выведены на кольца, с которых при помощи неподвижных щеток снимается ЭДС индукции. Такая ЭДС зависит от скорости (дельта)Ф/(дельта)t изменения потока, пронизывающего рамку. Когда рамка горизонтальна, то 

где l /2 - длина стержней, r - радиус рамки. Если рамка, вращаясь со скоростью w радиан в секунду, повернулась за время t на угол  , то проекция площади S рамки на горизонтальную плоскость, перпендикулярно потоку Ф, составит   Таким образом магнитный поток Ф через рамку для любого времени t равняется  где Ф_m = Blr. Согласно закона электромагнитной индукции, ЭДС индукции в рамке пропорциональна со знаком "минус" мгновенной скорости изменения магнитного потока  :

Когда (дельта)t стремится к малым величинам, таких что

тогда ЭДС (рис. 1, б) составит:

(1)

Докажем вышеуказанную формулу для устройства (рис. 1, а) по другому. В горизонтальных стержнях рамки существуют свободные электроны. Если они (вместе со стержнями) двигаются в направлении скорости v, то на них действует сила F_m. Удельная сила F_m/q, которая действует на единичный положительный заряд, как известно, является напряженностью электрического поля индукции:

Произведение напряженности   на длину l двух горизонтальных стержней рамки - это, как известно, ЭДС индукции  , а линейная скорость   Тогда

что совпадает с формулой (1). Это и есть доказательство тождества формул, а именно:

(2)

Тождество выражений (2) еще легче пояснить с помощью установки (рис. 2). 

Рис.2.

В ограниченном пространстве магнитного поля В постоянного магнита со скоростью v влево двигается стержень, активная длина которого l (длина, расположенная в поле). Другие части рамки в поле не попадают; В, l и vвзаимоперпендикулярны. Поэтому, согласно (2) и по правилу правой руки (ЭДС направлена от нас),

 (3)

Согласно закона электромагнитной индукции, магнитный поток возрастает, так же как возрастает S(t). Скорость изменения магнитного потока равняется:

Тогда e составит:

 (4)

что совпадает с (3). Еще раз подтверждает единство электромагнитных явлений, на которое указывали Фарадей, Ампер, Ленц, Генри, Максвелл. Так, когда извне прикладывается механическое усилие, которое вызывает движение стержня в магнитном поле, то в стержне наводится ЭДС и, если ее замкнуть через кольца на внешний контур (рис. 1, а), в контуре возникнет ток индукции. И наоборот, если извне приложить электрическую энергию так, чтобы в стержнях рамки был ток I, то возникает сила Ампера и рамка двигается самостоятельно, превращая (при помощи магнитного поля) электрическую энергию источника тока в механическую. В этом состоит принцип обратимости электрических машин, работающих как генераторами, так и потребителями. Если сила Ампера определяется по правилу левой руки, то ЭДС (2) - по правилу правой: магнитное поле входит в ладонь, большой палец указывает направление скорости, вытянутые четыре пальца - направление действия ЭДС. Синусоидальную ЭДС e(t) как функцию времени (рис. 1, б) в общем виде приводят в виде тригонометрической зависимости:

где e(t) - мгновенное значение ЭДС, Е_m - амплитудное значение,  - фаза,   - начальная фаза. Время одного цикла синусоидальной ЭДС называется периодом Т, а количество периодов в секунду - частотой f, f = T^-1. Единица измерения частоты - с^-1, илигерц (Гц). Величину   называют угловой частотой (рад/c).