Метод эквивалентного генератора

В электрической цепи (рис. 1, а), изображенной в виде активного двухполюсника А с выделенным участком, имеющим сопротивление R, необходимо определить ток I.

Рис. 1.

Включим последовательно с R два источника ЭДС: Е' и Е'' (рис. 1, б), значения которых одинаковы и равняются напряжению между выводами a иbактивного двухполюсника при выключенном сопротивлении R, т.е. в режиме холостого хода: - Е' = Е'' = Uхх. Что бы ток I не изменился, Е' и Е''направлены навстречу друг другу.

По принципу наложения схема (рис. 1, б) представлена в виде двух схем, в одной из которых работает источник ЭДС Е' и все источники внутри активного двухполюсника (рис. 1, в), а во второй – (рис. 1, г) – только источник ЭДС Е''. По тому же самому принципу ток I равняется сумме токов I= I' + I''. Поскольку Е' = Е'' = Uxx , то во вспомогательной схеме (рис. 1, в) частичный ток I' по закону Ома равняется нулю: I' = (Uхх - Е')/R = 0. Таким образом, ток I'' (рис. 1, г) равняется искомому току I:

где Rвх – входное или внутреннее сопротивление пассивного двухполюсника относительно выводов a и b (рис. 1, г). Такой же ток будет и в эквивалентной схеме (рис. 1, д), если Ее = Uхх и Re = Rвх. Ток I для сопротивления в заданной схеме (рис. 1, а) и в схеме (рис. 1, д) одинаков, следовательно, активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором.

Метод эквивалентного генератора целесообразно применять, если необходимо найти ток в одной ветви сложной электрической цепи, без расчета других токов.

Для расчета тока в сопротивлении R сначала отключают это сопротивление и определяют напряжение Uхх на его выводах. Далее необходимо исключить все ЭДС в оставшейся схеме (внутренние сопротивления источников остаются) и определить сопротивление относительно выводов исключенного сопротивления. Затем, по указанной выше формуле, определяют ток.

Пример. Схема (рис.2) относительно сопротивления R2 может быть представлена эквивалентным генератором с параметрами Rн = Rвх = R1R3/(R1 + R3) и ЭДС Ее = Uхх = ER3/(R1 + R2), которые определяются в режиме холостого хода. Тогда

  Рис. 2.

Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома

Законы Кирхгофа наиболее общие. Они являются отдельным случаем универсальных уравнений электрического поля относительно произвольных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Закон Ома используется для расчета только линейных цепей.

Алгоритм расчета:

1. Начертить по принципиальной схеме схему замещения; упростить схему, преобразовав последовательно и параллельно соединенные резисторы в эквивалентные, пронумеровать ЭДС соответствующих ветвей, узлы; произвольно выбрать и обозначить положительные направления токов в ветвях. 2. Записать n – 1 уравнений по первому и m – (n – 1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где n – количество узлов, m – количество ветвей в цепи. Если бы мы записывали n уравнений по первому закону Кирхгофа, то одно из них – это линейная комбинация оставшихся, что привело бы к линейной зависимости уравнений. Источник тока J входит только в уравнение первого закона Кирхгофа (баланс тока в узлах) и переносится как известное в правую часть уравнения.

Для схемы (рис. 1) n = 3, m = 4.

Рис. 1.

Ветвь с идеальным источником тока не учитывается, поскольку ее сопротивление бесконечно велико. Уравнение по первому закону Кирхгофа при n – 1 = 2 для узла 1: – I1 – I3 + I4 + J = 0; для узла 2: I1 + I2 – I4 = 0.

Уравнение по второму закону Кирхгофа при m – (n – 1) = 4 – 2 = 2 для контура 1 (направление обхода указано пунктиром): I1R1 + I2R2 = E1; для контура 2 (направление обхода то же самое, но можно было взять и противоположное): I2R2 – I3R3 – I4R4 = – E2.

3. Решить систему уравнений относительно тока I:

Если среди компонент вектора I есть отрицательные, то это означает, что их направление противоположно положительному направлению, приведенному в схеме (рис. 1).

4. По закону Ома определить напряжения на элементах.

Сложность использования этого метода связана с чрезмерно большой размерностью систем уравнений.

Метод контурных токов

Контурные токи – это условно независимые, одинаковые для всех ветвей каждого контура токи (рис.1 , указанные пунктиром II , III), которые совпадают по модулю с соответствующими токами внешних ветвей (например,  ), токи смежных ветвей равняются их сумме (если, направления контурных токов совпадают) или разности (если направления противоположны). Например,  .

  Рис.1.

Введение контурных токов дает возможность исключить из системы по первому и второму законам Кирхгофа уравнения первого закона Кирхгофа, снизив размерность системы до m – (n – 1). Для схемы (рис.1) исключим I3 и I4 из двух первых уравнений системы:

Из второго уравнения найдем I4, из первого – I3:

Подставим полученную формулу в два последних уравнения системы Кирхгофа:

Или относительно неизвестных I1 и I2:

После введения обозначений

(второе уравнение умножили на -1, чтобы III имел дополнительное значение) получим систему уравнений для контурных токов II и III:

где R12 = R21 = R4 (взаимное сопротивление Rij будет иметь отрицательное значение, если II и III направлены навстречу друг другу); Е2 также отрицательна, поскольку направление Е2, противоположно по направлению току III, должно быть в левой части уравнения со знаком «-» но после перехода вправо получило знак «+». Обобщим систему для произвольного числа контуров:

Элементы   формируются согласно алгоритма метода контурных токов:

1. Выделить m – (n – 1) независимых контуров (каждый новый контур необходимо выбрать так, чтобы в него входил хотя бы один элемент электрической цепи, который не входит в другие контуры: например, для рис. 2, если выбраны контуры abd и bcd, то нельзя брать третьим контурabcd.

  Рис.2.

2. Указать произвольно направления обхода контуров. Если на схеме уже обозначено направление токов в ветвях, то удобно направления контурных токов согласовать с направлением токов в ветвях. 3. Вычислить Rij: Rij равняется сумме сопротивлений всех элементов, входящих в i-й контур; Rij – равняется по модулю сумме сопротивлений ветвей, которые одновременно принадлежат i-му и j-му контурам; Rij больше нуля, если контурные токи i-го контура совпадают по направлению, и меньше нуля – при противоположных направлениях. 4. Вычислить правые части системы: Еi равняется алгебраической сумме ЭДС i-го контура; со знаком «+» берутся ЭДС, внутренняя стрелочка которых совпадает с направлением контурного тока i-го контура, «-» - если не совпадают. Если в семе есть источник тока J, то для его учета необходимо заблаговременно распределить ток J по ветвям любого незамкнутого контура, который дополняет ветвь с источником тока до замкнутого контура (в нашем случае – через R3, однако можно было бы и через R2 и R4). Полученное таким образом произведение J на соответствующее сопротивление необходимо перенести вправо, при этом необходимо поменять знак. 5. Решить систему уравнений относительно I. По контурным токам определить токи в ветвях. Во внешних ветвях они по модулю совпадают, во внутренних совпадающие по направлению складываются, направлены встречно – вычитаются. (В нашем примере I1 = I2; III = - I2; I1 – III = I4; ток I3 определим по первому закону Кирхгофа для узла 3: III – J + I3 = 0, откуда I3 = J - III).