Постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока

Последовательное соединение сопротивлений 

Установке (рис. 1) соответствует схема замещения (рис. 2). Будем передвигать подвижный контакт второго реостата (рис. 1) от верхнего положения в нижнее. Это будет соответствовать изменению R2 от нуля до максимального значения, напряжения U2 от нуля до напряжения источника, напряжения U1 – наоборот (рис. 2, б). И для R2 любого значения U= U1 + U2 или по закону Ома,U= IR1 + IR2 - I(R1 + R2) = IRе , где Rе – эквивалентное сопротивление.

  Рис. 1.

Рис. 2.

В общем случае для п последовательно включенных сопротивлений (рис. 3) будем иметь     Рис. 3.

Общее напряжение составит

Напряжения на сопротивлениях соотносятся как сопротивления:

Чтобы определить ток I и напряжение Uk ( k = 1, 2, …. , n ) в цепи с последовательным соединением сопротивлений, необходимо:

1. заменить n сопротивлений Rk эквивалентным Re;

2. по закону Ома определить ток I и напряжение Uk = I·Rk

Таким образом, при последовательном соединении эквивалентное сопротивление равняется сумме сопротивлений, полное напряжение – сумме напряжений на сопротивлениях, ток во всех сопротивлениях одинаковый.

Параллельное соединение сопротивлений

Установке (рис.1) соответствует схема замещения (рис. 2, а). Если выключить все лампы второго реостата, то его сопротивление возрастет до бесконечности. Включая лампы, сопротивление R2 уменьшаем.  Рис. 1.

Тогда, как видим из рис. 2, б, чем меньше R2, тем больший ток I2. Напряжение U и ток I1 неизменны. 

Рис. 2.

Общий ток равен:  Тогда В случае n параллельно включенных сопротивлений имеем аналогичную зависимость Токи соотносятся, как обратные сопротивлениям величины, т.е. как отдельные проводимости:  Эквивалентная проводимость Ge – сумма отдельных проводимостей: это вытекает из того, что   Действительно, согласно с показаниями приборов схемы (рис. 1), При параллельном соединении сопротивлений эквивалентная проводимость равняется проводимости параллельных ветвей, полный ток – сумме токов в этих ветвях, напряжение на всех сопротивлениях одинаково. Для определения полного тока I и токов Ik k-х ветвей цепи (рис. 3) с параллельно включенными сопротивлениями необходимо:

1. заменить n отдельных проводимостей одной эквивалентной Ge;

2. по закону Ома определить ток I и токи в ветвях:

Рис. 3.

Смешанное соединение сопротивлений

Рассмотрим три базовые разновидности смешанного соединения сопротивлений, приведенные на рис. 1. Расчет электрических цепей выполняют на основании эквивалентных преобразований двух предыдущих схем соединения – последовательного соединения сопротивлений и параллельного соединения сопротивлений. 

Рис. 1.

1. Схема смешанного соединения трех сопротивлений.

Эквивалентное сопротивление:

Полный ток I = U/Re ; напряжение 

  токи: тогда соответственно Ток одной из двух параллельных ветвей равняется полному току, поделенному на сумму сопротивлений параллельных ветвей и умноженному на сопротивление второй ветви; напряжение Uac = Uab + U bc. 2. Схема параллельного соединения двух ветвей, в каждой из которых по два сопротивления (ненагруженный мост). Эквивалентное сопротивление:

ток: I = U/Re ; напряжение Ucd в диагонали моста:

Или Где по закону Ома, 

Напряжение диагонали ненагруженного моста:

Эту зависимость используют в мостовых схемах измерений.

3. Схема последовательного соединения двух разгруженных веток (короткозамкнутый мост). Если в ненагруженном мосте (рис. 1, б) закоротить диагональ CD, то получим схему (рис. 1, в).

Эквивалентное сопротивление: 

полный ток: I = U/Re;

напряжения соответственно:

токи соответственно:

Поскольку ток на входе и выходе цепи одинаков, то в диагонали CD будем иметь разность I5 токов I1 и I4 или токов I4 и I2, поскольку в узле ток I1 разделяется на I3 и I5, а в узле D стекаются два тока I2 и I5 в один I4.

Потенциальная диаграмма  

Во время проектирования и эксплуатации электрических установок важно знать разность потенциалов между соответствующими точками схемы. Тогда элементы и узлы, имеющие существенную разность потенциалов, размещают территориально на большем расстоянии, чтобы предотвратить пробой изоляции между ними. Это особенно важно если имеются ограничения жесткими требованиями к габаритам. Для определения этой разности потенциалов строят в координатах «сопротивление ветвей - потенциалы» потенциальные диаграммы. Примем потенциал отрицательного полюса источника (см. рис. 1) нулевым.

Рис. 1.

Тогда φА = 120 В. Когда движение направлено от точки А к точке В, потенциал будет уменьшаться на значение падения напряжения на сопротивлении участка. Например, для схемы (рис. 1, а) φС = φА – I2R2 . Если на горизонтальной оси откладывать последовательно сопротивление участков, обходя контур по часовой стрелке, а на вертикальной – потенциал точек, то для первой, второй и третьей схем соединения (рис. 1. а, б, в) получаем кусочно-линейные зависимости (рис. 2 а, б, в). Тангенсы углов наклона графика, с учетом масштабных коэффициентов осей сопротивлений (mR ) и потенциалов (mU), пропорциональны токам ветвей.

Рис. 2.

Для произвольного контура (рис. 3), зная токи, сопротивления, ЭДС ветвей, на основании закона Ома для активного участка цепи вычисляют потенциалы промежуточных точек. Затем строят потенциальную диаграмму. Согласно закона Ома, U12 = φ1 – φ2 – I1R1. Зададим условно нулевое значение потенциала φ1 точки 1 (узел 1 заземлен). Тогда φ2 = - I1R1 < 0. Двигаясь далее по контуру от узла 2 в узел 3, проходим идеальную ЭДС Е1. Напряжение U32 = φ3 – φ2 – Е1, откуда φ3 = φ2 + Е1 = Е1 - I1R1 . Для ветви 3 – 4 – 5 направление обхода контура противоположен току I, поэтому φ4 > φ3, или U43 = φ4 – φ3 = I2R2 > 0. Благодаря этому φ4 = φ3 + I2R2 = (Е1 - I1R1) + I2R2. Напряжение U54 = φ5 – φ4 = - Е2, откуда φ5 = φ4 - Е2. Ветвь 5 – 6 – 7 – 8 разорвана, ток I3 в ней отсутствует и U75 = U76 = U85 = φ8 – φ5, где φ5 уже определено, а U76 известно. Тогда φ8 = U76 + φ5. Для ветви 8 – 9 – 1: φ9 – φ8 = - Е3, или φ9 = φ8 - Е3 и φ1 – φ9 = + I4R4, что в соответствии с начальным условием должно быть равно нулю (условие проверки).

Рис. 3.

График распределения потенциала по контуру (рис. 4) дает представление о разности потенциалов между любыми двумя точками контура. Например, U49 = φ4 – φ9 максимальна, что учитывается при конструктивном внедрении схемы в конкретной установке. Необходимо обеспечить надежную электрическую изоляцию этих точек или разнести их в пространстве, чтобы не было электрического пробоя диэлектрика. Чем большее расстояние l между этими точками, тем меньшая напряженность электрического поля ε = U49/l.

Рис. 4.

Закон Ома для полной цепи

Потенциальную диаграмму можно строить, пользуясь схемой замещения с уже рассчитанными токами и напряжениями. Задаются направлением обхода, точкой начала обхода (условно ее потенциал считают нулевым). При условии движения в направлении тока I через сопротивление R потенциал уменьшается на I·R, в противоположном направлении – увеличивается. При переходе через идеальный источник по внутренней стрелке – увеличивается, против – уменьшается на значение ЭДС. Это соответствует закону Ома для участка цепи. Например, для ветви 1 – 2 – 3 (рис. 1) с источником Е1 

Рис. 1.

откуда Если бы ток I1 имел противоположное ЭДС Е1 направление, ветвь 3 – 2 – 1 рассматривалась бы как активный двухполюсник в режиме потребителя.

Тогда бы 

откуда В общем случае формула закона Ома выглядит:

 где знак «плюс» соответствует случаю участка с источником, «минус» - участку с активным потребителем. 

Первый закон Кирхгофа

Для того чтобы в любой электрической цепи возник ток, она должна быть замкнутой (линии тока всегда замкнуты). Плотность тока может изменяться и ток в неразветвленной цепи (например рис. 1, а) всегда одинаковый (как один и тот же поток воды в гидравлической цепи, рис 1, б).

Рис. 1.

Если бы на каком то участке трубопровода поток воды изменился, разность потоков должна была бы где-то накапливаться. И какая-либо емкость имеет ограниченный размер. После ее наполнения поток опять бы был одинаковым на протяжении трубопровода и во времени. Тоже самое имеем и в электрической цепи. В более сложных (разветвленных) цепях электрический ток протекает в проводниках, сходящихся в узле (рис. 2, а).

Рис. 2.

Тогда, исходя из того же самого принципа непрерывности тока и отсутствия емкости в узле, мы должны сделать вывод, что для любого (постоянного или переменного) тока, согласно первого закона Кирхгофа для узла электрической цепи, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равняется нулю, или сумма токов, входящих в узел, равняется сумме токов, выходящих из него:

Это правило можно применять к любой плоскости (рис. 2, б), разделяющей автономную (изолированную) цепь на две части: сумма токов, проходящих с одной стороны поверхности на другую, обязательно равняется сумме токов, проходящих в противоположном направлении. Это вытекает из закона постоянства заряда изолированного тела, а так же из принципа непрерывности тока. Пользуясь указанной выше формулой, можно проверить правильность показаний амперметров (рис. 3).

Рис. 3.

Показания амперметра на выходе генератора ( I = 110 A) равняются сумме показаний амперметров потребителей ( I1 = 40 A; I2 = 40 A; I3 = 30 A ).

Второй закон Кирхгофа «Обойдем» любой контур в любой схеме, например контур ACDBA в схеме (рис. 1, б).

Рис. 1.

В той же самой схеме контур ADCBA:

В общем случае (рис. 2) для контура в разветвленной цепи определим разность потенциалов между отдельными точками цепи:

Рис. 2.

Добавив эти уравнения, получим, что:

или В этом уравнении со знаком «плюс» берутся те ЭДС, где направление действия сторонних сил (внутренняя стрелочка) совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «минус» - в противоположном случае; падение напряжения I·R имеет положительное значение, если направление тока и обхода совпадают, и со знаком «минус», когда ток направлен навстречу.

Если учесть, что ЭДС на идеальной части источника равняется соответствующему напряжению  , то, согласно с указанным выше, имеем, что:

Т.е. алгебраическая сумма всех напряжений в контуре равняется нулю. Обобщив это, получим второй закон Кирхгофа: или Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС всех веток контура и падение напряжений на сопротивлениях ветвей одинаковы, или алгебраическая сумма напряжений в контуре равняется нулю. Напомним, что под контуром понимают замкнутый путь обхода вдоль ветвей цепи (рис. 3)

Рис. 3.

Не следует путать с замкнутой цепью, как замкнутым путем прохождения тока (рис. 2). Уравнение справедливо как для цепи (рис. 3), где ветвь 5 – 8 разорвана кА для тока, так и для цепи (рис. 2), где все ветви замкнуты. Второй закон Кирхгофа, как и первый справедлив для постоянных и переменных во времени величин E, U, I, R; для линейных и нелинейных цепей; для мгновенных значений во времени E, U, I и других их изображений, однозначно связанных с ними (например при векторном отображении синусоидальных величин).