4. Занятие № 4. Геометрическое определение вероятности.

Задания.

1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

2. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

3. На перекрестке установлен автоматический све­тофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и пол­минуты—красный, затем снова одну минуту—зеленый и полминуты—красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

4. На бесконечную шахматную доску со стороной квад­рата а наудачу бросается монета радиуса r < а/2. Найти вероятности следующих событий: А={монета попадет целиком внутрь одного квад­рата}, В={монета пересечет не более одной стороны квадрата}.

5. Наудачу составляют квадратный трехчлен x²+px+q, такой, что |р|£5, |q|£5. Ответьте на следующие вопросы:

а) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет вещественные корни?

б) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет вещественные корни разных знаков?

в) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет два положительных корня?

г) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет два корня, большие единицы?

6. (задача о встрече). Найти вероятности событий А и С из задачи 1(е) занятия № 1.

7. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равно-возможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один час, а второго — два часа.

8. Какова вероятность того, что сумма трех на­удачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит L, будет больше L?

12. На поверхности шара берут наудачу две точки и соединяют меньшей дугой большого круга. Найти веро­ятность того, что дуга не превзойдет а радиан.

14. Однородный прямой круговой цилиндр с вы­сотой h и радиусом основания r случайным образом бро­сается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность.

15. На отрезке длины l наудачу выбираются две точки M₁ и M₂. Определить вероятность того, что из по­лученных трех отрезков можно построить треугольник.

5. Занятие № 5. Условная вероятность. Независимые события.

Задания

1. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А={выпало простое число очков}, В={выпало четное число очков}. Вычислить вероятность Р(А/В).

2. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. Со­бытия: А={первый шар белый}, В={второй шар белый}, С={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Р(В/А), Р(А/В) и Р(А/С).

3. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.

4. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблю­даемые события: А={на трех костях выпадут разные грани}, В={хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить Р(В/А) и Р(А/В).

5. В условиях эксперимента, описанного в задаче 2, установить, являются ли независимыми события А и В,А и С, В и С, события А, В и С в совокупности.

6. События А и В зависимы. Следует ли из этого, что они несовместны? Привести пример.

7. Пусть события А и В независимы и не являются не­возможными. Доказать, что они обязательно совместны.

8. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: А = {вынутая карта — туз}, В = {вынута карта черной масти}, F = {вынутая карта — фигура, т.е. является валетом, да­мой, королем или тузом}. Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: А и В, А и F, F и В.

9. В условиях эксперимента, описанного в задаче 4, установить, зависимы или независимы события С={появится не менее двух единиц} и D={появится четное число нечетных цифр}. Вычислить условную вероятность P(D/C).

10. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 чело­век знают английский язык, 40 — французский и 35 — немец­кий. Английский и французский языки знают 20 студентов, ан­глийский и немецкий — 8, французский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из ауди­тории. Рассмотрим следующие события: Е = {вышедший знает английский язык}, F = {вышедший знает французский язык}, D = {вышедший знает немецкий язык}.

а) Указать все пары независимых событий.

б) Установить, являются ли события Е, F и D независимыми в совокупности.