1.2. Системы счисления

Системы счисления бывают позиционные, когда каждый разряд числа имеет определенный вес, и знаковые, когда значение числа обозначают определенными знаками (римская система чисел). Мы будем рассматривать только позиционные системы счисления. В них в каждом разряде числа может быть только один символ.

Двоичная система счисления

Для записи двоичных чисел используются только два знака 0 и 1. Все

J U 0	к
		1 ►

t0

t

вычислительные машины используют двоичную систему при своей работе. На выходе любого устройства имеется или низкий потенциал (0) или высокий (1). На рис.1.1 показан процесс переключения устройства из одного состояния в другое. Ранее были попытки использования десятичной системы счисления или троичной, но устройства на их основе оказались очень ненадежными Рис.1.1 Для перевода числа из любой системы

счисления в десятичную можно использовать следующую формулу:

Q0 = 2 ^ai ^-b,

i

где ai - разрядные коэффициенты; b - основание системы счисления;i - номер разряда.

Первый целый разряд числа имеет номер 0, дробные разряды нумеруются отрицательными числами. Например, следующее двоичное число можно перевести в десятичное таким образом: номера разрядов 43210

двоичное число 11011(₂)

Сю=1 -2⁰+1-2¹+0-2²+1-2³+1 -2⁴=27(Ю>

Для перевода десятичного числа в любую другую систему счисления нужно: целую часть числа сначала делить на основание системы счисления, пока остаток от деления не станет меньше основания, затем результат деления опять делится на основание и так до тех пор, пока результат последнего деления не станет меньше основания. Результат последнего деления дает старший разряд числа, а остатки от предыдущих делений - остальные разряды числа. Дробную часть десятичного числа и последующих результатов умножений нужно умножать на основание системы счисления. Целые части результатов умножений и дадут требуемую дробь.

Например, переведем десятичное число С₁₀=25,35 в двоичное. Сначала целую часть этого числа будем делить на основание системы счисления - 2.

25(10)	2
1	12	2
	0	6	2
		0	3	2
			1	1

Целая часть числа будет равна С(₂)=11001(₂). Дробную часть числа сначала будем умножать на основание системы счисления - 2, а затем дробные части результатов умножения опять умножать на основание системы счисления.

	0,	35
*		2
	0,	7
*		2
	1,	4
*		2
	0,	8
*		2
1,		6

Целые части результатов умножений дадут следующую двоичную дробь - 0,0101...(2).

Попробуем произвести сложение и вычитание двоичных чисел.

<=• <=» <=» <=• <=»

Сложение:

+

0 110 0 1 0 10 111

Здесь стрелочками показан перенос единицы в старший разряд числа, когда

сумма разрядных

счисления.

Вычитание:

_1 1

1 0

чисел достигает или превышает основание системы

1 0 0 1

0 0 110

Здесь стрелочкой показан заем единицы из старшего разряда, которая для данного разряда равна основанию системы счисления.

Шестнадцатеричная система счисления В шестнадцатеричной системе счисления для разрядных чисел используются не только 10 арабских цифр от 0 до 9, но и буквы латинского алфавита:A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Например, переведем следующее шестнадцатеричное число в десятичное. номера разрядов 2 1 0

шестнадцатеричное число 1AE(₁₆)

СЮ=14-16°+10-16¹+Ы6²=430(10) Теперь переведем десятичное число в шестнадцатеричное:

475п°)	16
32	29	16
155	16	1
144	13

11

В итоге последний результат деления и остатки от деления дадут следующее шестнадцатеричное число: 1DB(₁₆).

Можно очень легко переводить шестнадцатеричные числа в двоичные и обратно, минуя десятичную систему счисления. Следует только иметь в виду, что один шестнадцатеричный разряд числа полностью соответствует четырем двоичным разрядам.

Например, переведем шестнадцатеричное число в двоичное:

A8E(16)=1010 1000 1110(2).