Примеры решения задач
Решить линейную систему
(3.6)
Решение 1 (По формулам Крамера).
◄ Линейная система (3.6) – квадратная: число уравнений равно числу неизвестных – трем. Определитель основной матрицы (из коэффициентов при неизвестных)
то
есть система невырожденная, и можно
применять формулы Крамера (3.3). Составим
и вычислим определители
,
,
заменив в
-й
столбец на столбец свободных членов:
,
,
.
По
формулам Крамера (3.3)
,
,
.►
Решение 2 (Матричным методом – с помощью обратной матрицы).
◄ Линейную
систему (3.6) можно записать в виде одного
матричного уравнения
,
где
– основная матрица системы,
– матрица-столбец из неизвестных
,
– матрица-столбец из свободных членов.
Матрица, обратная к
,
была вычислена в примере 2.2.5. Решение
системы находим по формуле (3.2):
,
то
есть
.►
Решение 3 (Методом Гаусса).
◄ Прямой ход метода:
Шаг
1.
Ко второму уравнению прибавляем первое,
умноженное на (
),
к третьему прибавляем первое, умноженное
на (
).
Шаг
2.
К третьему уравнению прибавляем первое,
умноженное на (
).
Обратный
ход метода:
Начиная с последнего уравнения,
последовательно находим
:
Замечание. Разумно упростить процедуру, выписывая только матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (расширенную матрицу системы):
На последнем шаге прямого хода мы для наглядности все-таки вернулись к подробной записи системы. ►
Решить линейную систему
◄ Решаем методом Гаусса. Прямой ход метода:
Шаг
1.
Первое уравнение заменим на разность
между вторым и первым. Цель – получить
1 в качестве коэффициента при
в первом уравнении.
Шаг 2 . Ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на (–3), к третьему прибавляем первое, умноженное на (–5), к четвертому прибавляем первое, умноженное на (–7).
Шаг
3.
К третьему уравнению прибавляем второе,
умноженное на (
),
к четвертому прибавляем второе,
умноженное на (–3).
Шаг 4. Отбрасываем нулевые уравнения.
Обратный
ход метода:
Неизвестным
и
можно придать произвольные значения:
,
.
Тогда
,
.
Таким
образом, все решения (общее
решение)
системы задаются формулами
,
,
,
,
где
и
– произвольные числа. Меняя
и
,
мы получим любое решение. ►
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 3.3.1–3.3.2 решить линейные системы а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса.
|
|
|
В задачах 3.3.3–3.3.4 решить линейные системы матричным способом.
|
|
|
В задачах 3.3.5–3.3.10 решить линейные системы методом Гаусса.
|
|
|
|
|
|
