2. Задачи для самостоятельного решения

1. Проверить, что общее определение (1.2) определителя -го порядка при совпадает с формулой (1.3).

В задачах 1.3.2-1.3.7 вычислить определители.

.	.
.	.
.	.

2. Операции над матрицами

1. Основные понятия и формулы

1. Линейные операции: сложение и умножение на число

Суммой -матриц и называется -матрица, обозначаемая , у которой в -й строке и -м столбце стоит сумма соответствующих элементов матриц и .

Произведением -матрицы на число называется -матрица, обозначаемая или , у которой в -й строке и -м столбце стоит число , то есть .

На определенные выше операции сложения матриц и умножения матрицы на число переносятся соответствующие свойства операций над числами.

Для любых -матриц , , и любых чисел ,

1) ;

2) ;

3) , где – матрица из нулей – нулевая матрица;

4) , где – матрица противоположная ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

2. Умножение матриц

Пусть – -матрица, – -матрица, то есть число столбцов у равно числу строк у , или более наглядно:

длина строки матрицы высоте столбца матрицы .

Произведением матрицы на матрицу называется -матрица, обозначаемая или , в -ой строке, -м столбце которой стоит элемент, равный сумме произведений элементов -ой строки на соответствующие элементы -го столбца:

( ). (2.1)

Если длина строки матрицы не равна высоте столбца матрицы , то произведение не определено!

Для любых квадратных матриц и одного порядка их произведение определено и также является квадратной матрицей -го порядка.

Свойства умножения матриц: Для любых квадратных матриц , , одного порядка и любого числа

1) ;

2) и ;

3) , где – единичная матрица, элементы которой, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0;

4) ,

5) .

Аналогичные 1)-4) свойства имеют место и для любых матриц при условии, что все выписанные произведения определены.

На умножение матриц (даже квадратных) уже не переносятся все свойства умножения чисел. В частности, нет перестановочности: в общем случае (пример 2.2.2); равенство , где – нулевая матрица возможно при и (задача 2.3.11).

3. Транспонирование матриц

Операция транспонирования ставит в соответствие матрице размера транспонированную матрицу размера , получаемую из заменой каждой строки на столбец с тем же номером: . Для квадратной матрицы транспонирование – «поворот» матрицы вокруг главной диагонали – каждый элемент заменяется на симметричный относительно главной диагонали.

Свойства операции транспонирования:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .