4. Методы вычисления определителей

Определитель второго порядка вычисляется по определению – по формуле (1.1) (см. пример 1.2.1).

Определитель третьего порядка также можно вычислять по определению – по формуле (1.3). Для запоминания, какие произведения элементов надо выписать и с каким знаком, обычно используют правило треугольников (рис. 1.1) – произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали, берутся со знаком (+), а произведения элементов, стоящих на другой диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна этой диагонали, берутся со знаком (–) (см. пример 1.2.3).

Д ля вычисления определителей третьего порядка можно использовать формулы (1.4) и (1.5) разложения определителя по строкам и столбцам (см. пример 1.2.1).

Определители четвертого и большего порядков находить по определению и даже разложением по строкам (столбцам) практически невозможно из-за громоздких вычислений. Более эффективно нахождение определителей методом Гаусса: используя свойства 7) и 2) можно преобразовать матрицу в треугольную, не изменив определителя (см. примеры 1.2.4 и 1.2.5). Определитель треугольной матрицы мы вычислять умеем – он равен произведению элементов главной диагонали.

2. Примеры решения задач

1. Вычислить определитель второго порядка .

◄ По формуле (1.1) . ►

2. Вычислить определитель матрицы .

◄ По формуле (1.1) определитель матрицы

. ►

3. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы

.

◄ Алгебраическое дополнение первого элемента первой строки – определитель матрицы, полученной вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, в которых находится этот элемент, умноженный на : . Алгебраическое дополнение второго элемента первой строки – определитель матрицы, полученной вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, в которых находится этот элемент, умноженный на : . Алгебраическое дополнение третьего элемента первой строки – определитель матрицы, полученной вычеркиванием 1-й строки и 3-го столбца, в которых находится этот элемент, умноженный на :

. ►

4. Вычислить определитель матрицы из примера 1.2.3.

Решение 1. (по определению – правило треугольников).

◄

.

Здесь первые три слагаемых – произведение элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали, последние три слагаемых – произведения элементов, стоящих на другой диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна этой диагонали, взятые со знаком (–).

►

Решение 2. (разложение по первой строке). ◄ По формуле (1.4) для вычисления определителя надо каждый элемент строки умножить на его алгебраическое дополнение и сложить полученные числа. Алгебраические дополнения элементов первой строки мы уже нашли в примере 1.2.3. Итак,

.►

Решение 3. (Метод Гаусса – приведение к треугольному виду).

◄

Шаг 1. Поменяли местами 1-ю и 2-ю строки и умножили 2-ю строку на –1. Каждое действие меняет знак определителя (свойства 2-3), в результате определитель не изменится. Цель этих действий – получить в левом верхнем углу единицу (см. замечание 1 в конце решения).

Шаг 2. Ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 2, к 3-й строке прибавили 1-ю, умноженную на (–3). По свойству 7) определитель не изменится. Цель – получить в первом столбце нули ниже первого элемента столбца.

Шаг 3. К 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 5. Цель – получить во втором столбце нули ниже второго элемента столбца.

В итоге получили определитель треугольной матрицы, равный произведению диагональных элементов. ►

Замечание 1. Если бы мы не сделали 1-й шаг и начали со второго, то пришлось бы ко 2-й строке прибавить 1-ю, умноженную на , к 3-й строке прибавить 1-ю, умноженную на . В итоге пришлось бы работать с десятичными дробями. Если определитель не специально подобран для упражнений, то этого не избежать.

Замечание 2. Для определителя третьего порядка можно опустить шаг 3, разложив определитель, полученный на шаге 2 по первому столбцу:

.

Конечно, алгебраические дополнения, которые умножаются на нули, ни выписывать, ни считать не нужно. ►

5. Вычислить определитель матрицы .

◄

.

Шаг 1. Ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на –1, 3-ю строку не меняли, к 4-й строке прибавили 1-ю.

Шаг 2. К 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на –2, к 4-й строке прибавили 2-ю, умноженную на –1.

Шаг 3. К 4-й строке прибавили 3-ю. ►

6. Проверить, что общее определение (1.2) определителя -го порядка при совпадает с формулой (1.1).

◄ Согласно (1.2) при

,

где и – все возможные произведения по два элемента, взятые из разных строк и разных столбцов, выписанные в порядке возрастания

номеров строк; и – число инверсий – нарушений естественного порядка в последовательностях и из номеров столбцов. ►