1. Определители

1. Основные понятия и формулы

1. Матрицы

Матрицей размера (или просто -матрицей) называется прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы) из строк и столбцов. При конкретных значениях и задать матрицу можно, просто записав эту таблицу; например,

, , –

разные формы записи одной и той же -матрицы. Мы будем пользоваться записью в круглых скобках. В общем случае матрица обычно обозначается прописной буквой, например, , а ее элемент, стоящий в -ой строке, -м столбце, соответствующей строчной буквой с индексами и . Обозначения:

, , .

Для матрицы , например, , а .

Задать -матрицу означает задать правило вычисления любого ее элемента по номерам строки и столбца , в которых он находится.

Матрица размера называется квадратной матрицей -го порядка:

.

Числа , ,…, образуют главную диагональ квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется (верхне)треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: при . Важная роль треугольных матриц будет ясна из дальнейшего.

-матрицу часто называют строкой или арифметическим вектором-строкой длины , -матрицу – столбцом или арифметическим вектором-столбцом высоты .

2. Понятие определителя

Для каждой квадратной матрицы -го порядка ( ) определено число, обозначаемое или и называемое определителем матрицы (определителем -го порядка).

При матрица состоит из одного элемента,

.

При

. (1.1)

При любом – сумма всевозможных произведений элементов матрицы , стоящих в разных строках и разных столбцах, со знаком или , определяемым порядком сомножителей:

. (1.2)

Здесь:

сомножители , , …, выбраны последовательно из 1-ой, 2-ой, …, -ой строки;

– соответствующая последовательность номеров столбцов;

– число инверсий в последовательности : число и число с большим номером ( ) образуют инверсию, если . При четных величина , при нечетных – .

Формула (1.1), конечно, частный случай общей формулы (1.2) (см. пример 1.2.6).

При формула (1.2) принимает вид

. (1.3)

Из (1.2) следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: .

3. Свойства определителей

Здесь для краткости под элементами, строками и столбцами определителя мы будем понимать элементы, строки и столбцы соответствующей матрицы.

1. Равноправие строк и столбцов

Если строки матрицы заменить соответствующими столбцами (эта операция называется транспонированием матрицы – см. п. 2.1.3), то определитель не изменится:

.

2. Антисимметричность

Если в определителе переставить местами любые две строки (два столбца) то его величина изменится на противоположную.

3. Однородность

Если элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

4. Аддитивность

Если -я строка матрицы имеет вид , то определитель матрицы равен сумме определителей матриц и , у которых все строки, кроме -ой, те же, что у , а -я строка у – , у – ( ). Аналогичное утверждение имеет место и для столбцов.

5. Разложение определителя по строкам и столбцам

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из вычеркиванием -й строки и -го столбца, в которых находится , умноженный на .

Теорема Лапласа. Любой определитель можно представить в виде суммы произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, ; (1.4)

, . (1.5)

Равенства (1.4) и (1.5) называются разложениями определителя по -й строке и -му столбцу. Их смысл состоит в том, что вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка – алгебраических дополнений.

6. Определитель со строкой (столбцом) из нулей равен нулю. Определитель с двумя пропорциональными, в частности, с двумя одинаковыми строками равен нулю.

7. Если к какой-нибудь строке (столбцу) определителя добавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.