Физическое приложение скалярного произведения
Р
аботой
постоянной силы
на
прямолинейном перемещении
из точки
в точку
называется скалярное произведение
вектора силы
на вектор
перемещения (рис. 8.3):
.
Впрочем,
физики предпочитают модуль вектора
обозначать не «вектором в вертикальных
черточках», а той же буквой без стрелки:
.
Примеры решения задач
Даны длины векторов
,
и угол
.
Найти:
|
|
|
|
,
,
,
,
если
,
.◄ Используя выражение (8.7) длины вектора и (8.8) угла между векторами через скалярное произведение и свойства скалярного произведения, имеем
2)
3)
;
4)
;
.
►
Дан вектор
.
1) Найти его длину; 2) нормировать вектор;
3) указать направляющие косинусы
вектора.
◄ 1)
Длина вектора
:
.
Нормируем вектор:
– орт вектора
.Согласно (8.11) направляющие косинусы вектора :
,
,
и
(рис. 8.2). ►
Даны векторы
и
в базисе
.
Найти:
1)
скалярное произведение
;
2) угол между векторами
;
3) проекции
и
.
◄ 1)
;
2)
,
;
,
рад;
3)
,
.
►
В треугольнике
,
где
,
,
,
найти длины сторон, угол
,
длину медианы
(рис.
8.4).
◄
1)
Найдем координаты векторов
,
и
по формуле (7.1), то есть, вычитая из
координат концов векторов координаты
их начал:
,
и
.
2)
Длины сторон находим как длины
соответствующих векторов по формуле
(8.7):
,
и
.
Так как
,
то угол
– прямой.Так как
– середина
,
то
и
.
Тогда
.
Даны координаты точек на плоскости:
,
,
,
.
Убедиться в том, что четырехугольник
ABCD
является квадратом.
◄
На
рисунке 8.5 изображено расположение
точек на плоскости.
Используя формулу (7.1), то есть, вычитая из координат концов векторов координаты их начал, найдем координаты векторов
,
и
.
.
Значит, ABCD
–
параллелограмм.Скалярное произведение векторов и найдем по формуле (8.6), в которой надо опустить третье слагаемое:
.
Следовательно,
.
Таким
образом, параллелограмм ABCD
является прямоугольником.Длины векторов найдем по формуле (8.7), где следует опустить третье слагаемое:
,
.
Следовательно, прямоугольник ABCD
является квадратом. ►
Найти значения параметра λ, при которых векторы
и
ортогональны.
◄ Вычислим
скалярное произведение
и потребуем выполнения условия
ортогональности векторов (8.9):
При
векторы
и
ортогональны, причем это единственное
значение λ,
при котором
.
►
Найти координаты вектора в базисе , если ,
,
,
.
◄ Из (8.12), учитывая условие , находим
.
По формулам (8.11) находим координаты вектора
,
,
,
.
►