2. Примеры решения задач

1. В параллелограмме (рис. 7.3) , , . Найти координаты вершины и центра параллелограмма.

◄ , с

другой стороны . Поэтому , , , то есть . Так как – середина отрезка , то из (7.3) , . ►

2. Найти центр масс системы из двух материальных точек с массой и с массой .

◄ Центр масс делит отрезок на части в отношении . По формулам (7.2)

и, аналогично, , . ►

3. Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть , , , . Доказать, что четырехугольник – трапеция.

2. Пусть , , , . Доказать, что четырехугольник – параллелограмм. Найти координаты его центра .

3. Даны вершины треугольника , , . Найти координаты точки пересечения медиан.

Указание: медиана делит основание пополам. Точка пересечения медиан делит в отношении .

В задачах 7.3.4.-7.3.5. найти основание L биссектрисы в , если известны его вершины.

Указание: Биссектриса угла в любом треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

, , .

, , .

5. Скалярное произведение векторов

1. Основные понятия и формулы

1. Определение. Свойства. Вычисление

Скалярным произведением (геометрических) векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (8.1)

Свойства скалярного произведения: для любых векторов , , и для любого числа

; (8.2)

; (8.3)

; (8.4)

. (8.5)

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе: Если

, ,

то

. (8.6)

В задачах этого раздела, если базис, в котором заданы координаты векторов, не указан явно, то он предполагается ортонормированным.

2. Геометрические приложения скалярного произведения

Через скалярное произведение, а потому и через координаты можно выразить длину вектора и угол между векторами. Приведем выражения для векторов в пространстве. Для векторов на плоскости формулы аналогичны.

Из (8.2) и (8.6) получаем выражение для длины вектора:

, (8.7)

а из (8.1), (8.6) и (8.7) выражение для косинуса угла между векторами:

. (8.8)

Из (8.1) также следует условие ортогональности (взаимной перпендикулярности) векторов:

. (8.9)

Ортогональной проекцией вектора на направление вектора (рис.8.1) называется число

Иногда ее называют проекцией вектора на ось (направленную прямую, направление на которой задается вектором ) и обозначают ее . Например проекция вектора на ось : .

Из (8.8) получаем выражение для ортогональной проекции через скалярное произведение:

. (8.10)

Координаты вектора в ортонормированном базисе являются его проекциями на направления базисных векторов (на оси координат):

, , , (8.11)

где , , (рис. 8.2).

Величины , , и называют направляющими косинусами вектора . Вектор

является единичным вектором ( ) в направлении вектора . Он называется ортом вектора , а его нахождение – нормированием вектора .

Так как , то

. (8.12)