Примеры решения задач
Дана матрица линейного оператора
.
Записать равенство
в координатной форме.
◄ По определению (формула (6.2))
►
Найти вектор , в который линейный оператор преобразует вектор
.
◄ Линейный оператор преобразует вектор в его образ
.
►
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы)
.
◄ Собственные значения находим из характеристического уравнения (6.4):
,
корни
которого
и
.
Система (6.3) для нахождения координат и собственных векторов в рассматриваемом случае имеет вид
(6.5)
Подставим в нее :
Полагая
– произвольным, находим
.
Таким образом, векторы
,
где
– собственные векторы, соответствующие
собственному значению
,
то есть
(рис 6.2).
Подставим
в (6.5)
:
Полагая
– произвольным, находим
.
Таким образом, векторы
,
где
– собственные векторы, соответствующие
собственному значению
,
то есть
(рис 6.2) .
Возьмем
и разложим произвольный вектор
по базису из векторов
,
:
.
Тогда его образ
,
то
есть действие оператора на произвольный
вектор
состоит в «растяжении» его по направлениям
собственных векторов
и
,
соответственно в
и
раз (рис 6.2). ►
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 6.3.1-6.3.2 дана матрица линейного оператора. Записать равенство в координатной форме.
|
|
,
.
В задачах 6.3.3-6.3.6 найти вектор , в который линейный оператор преобразует вектор .
|
|
|
|
,
.
,
.
,
.
,
.Найти линейный оператор (матрицу) , преобразующий вектор
в вектор
,
а вектор
в вектор
.Найти вектор , образ которого при действии линейного оператора – вектор
.
Указание. Надо решить матричное уравнение относительно .
Для линейных операторов
и
найти произведение операторов
,
обратный оператор
и привести их координатную запись.
В задачах 6.3.10-6.3.12 найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
|
|
|
.
.
.
Декартова система координат
Основные понятия и формулы
Прямоугольная
декартова система
координат на плоскости (соответственно
в пространстве) состоит
из фиксированной точки O
– начала
координат
и фиксированного ортонормированного
базиса
(соответственно
).
Прямые, проходящие через начало координат
с направлением на них, задаваемым
векторами
и
называются, соответственно, осями
координат
и
(или
и
).
Координатами
точки
M
в данной системе координат называются
координаты радиус-вектора
в выбранном базисе:
(рис.
7.1),
(рис.7.2).
Х
отя
в принятом нами определении понятие
координат вектора первично, а понятие
координат точки вторично, во многих
задачах геометрии изначально известны
только координаты точек. Если известны
координаты начала A
и
конца
B
вектора, то координаты
вектора
находим, вычитая из координат конца B
вектора соответствующие координаты
его начала A:
.
(7.1)
Координаты
точки
,
делящей отрезок
,
,
,
в
отношении
находятся по формулам
,
,
.
(7.2)
В частности, координаты середины M отрезка являются полусуммами координат его концов:
,
,
.
(7.3)
В
случае плоскости в формулах (7.1)–(7.3)
остаются только координаты
и
.